Tìm tất cả các số tự nhiên $x,\,y$ thoả mãn $\sqrt{4^x+3y+2}+\sqrt{2^x-3y+2}$ là số nguyên.
$\sqrt{4^x+3y+2}+\sqrt{2^x-3y+2}\in \mathbb{Z}$
Bắt đầu bởi HuyCubing, 28-12-2022 - 22:09
Lời giải Nguyen Bao Khanh, 06-04-2023 - 17:59
ĐKXĐ: $2^{x}+2\geq 3y$. Ta đi chứng minh bổ đề sau: Với $a,b\epsilon Q,\sqrt{a}+\sqrt{b}\epsilon Q \Rightarrow \sqrt{a},\sqrt{b}\epsilon Q$ . Thật vậy, ta có $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\epsilon Q \rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}\epsilon Q \rightarrow 2\sqrt{a}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\epsilon Q \rightarrow \sqrt{a}\epsilon Q$ Tương tự suy ra bổ đề được chứng minh. Khi đó theo bổ đề thì$\sqrt{4^{x}+3y+2},\sqrt{2^{x}-3y+2}\epsilon Q$ . Đặt $\sqrt{4^{x}+3y+2}=\frac{m}{n}; m,n\epsilon N^{*}, GCD(m,n)=1\rightarrow 4^{x}+3y+2=\frac{m^{2}}{n^{2}}\epsilon N^{*}\rightarrow m^{2}\vdots n^{2} \rightarrow n=1 \rightarrow 4^{x}+3y+2=m^{2}$. Ta có : $m^{2}>(2^{x})^{2}$ . Nếu x>1 thì theo ĐKXD $\rightarrow m^{2}=4^{x}+3y+2\leq 4^{x}+2^{x}+4< (2^{x}+1)^{2}$. Do đó (loại). Suy ra x$\leq 1$. Nếu x=0 thì đến đây bạn thay vào tính nhe
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 06-04-2023 - 17:59
Nguyen Bao Khanh
-
- Hái lộc VMF 2024
-
- 77 Bài viết
Hạ sĩ
✓ Lời giải
ĐKXĐ: $2^{x}+2\geq 3y$. Ta đi chứng minh bổ đề sau: Với $a,b\epsilon Q,\sqrt{a}+\sqrt{b}\epsilon Q \Rightarrow \sqrt{a},\sqrt{b}\epsilon Q$ . Thật vậy, ta có $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\epsilon Q \rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}\epsilon Q \rightarrow 2\sqrt{a}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\epsilon Q \rightarrow \sqrt{a}\epsilon Q$ Tương tự suy ra bổ đề được chứng minh. Khi đó theo bổ đề thì$\sqrt{4^{x}+3y+2},\sqrt{2^{x}-3y+2}\epsilon Q$ . Đặt $\sqrt{4^{x}+3y+2}=\frac{m}{n}; m,n\epsilon N^{*}, GCD(m,n)=1\rightarrow 4^{x}+3y+2=\frac{m^{2}}{n^{2}}\epsilon N^{*}\rightarrow m^{2}\vdots n^{2} \rightarrow n=1 \rightarrow 4^{x}+3y+2=m^{2}$. Ta có : $m^{2}>(2^{x})^{2}$ . Nếu x>1 thì theo ĐKXD $\rightarrow m^{2}=4^{x}+3y+2\leq 4^{x}+2^{x}+4< (2^{x}+1)^{2}$. Do đó (loại). Suy ra x$\leq 1$. Nếu x=0 thì đến đây bạn thay vào tính nhe
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
