Chủ đề này có 2 trả lời

[Math04]

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $D_{n}$ là tập hợp các ước dương của $n$ và $f_{i}(n)$ là số phần tử của tập hợp: $F_{i}(n)=\left \{a \in D_{ n}| a\equiv i (\text{mod} 4)  \right \}, i=1,2$. Tìm số nguyên dương $m$ nhỏ nhất sao cho: $2f_{1}(m)-f_{2}(m)=2017$.

[Hoang72]

Nhận thấy nếu $4\mid m$ thì $f_1(m) = f_1\left(\frac{m}{2}\right); f_2(m) = f_2\left(\frac{m}{2}\right)$.

Do đó ta chỉ xét khi $4\nmid m$. Vì $f_2(m)>0$ nên $m$ chẵn.

Đặt $m=2p_1^{k_1}...p_s^{k_s} . p_{s+1}^{k_{s+1}}...p_{t}^{k_t}$, trong đó $p_1,p_2,...,p_s$ là các số nguyên tố dạng $4k+1$ và $p_{s+1},p_{s+2},...,p_t$ là các số nguyên tố dạng $4k+3$.

Thế thì $f_2(m)$ cũng chính là số ước của $\frac{m}{2}$ và bằng $\prod_{i=1}^t (k_t+1)$.

Ta tính $f_1(m)$. Lấy $d = p_1^{h_1}p_2^{h_2}...p_s^{h_s}.p_{s+1}^{h_{s+1}}...p_t^{h_t}$ là ước nguyên tố của $n$ thì $h_i\leq k_i,\forall i = \overline{1,t}$ và $2\mid h_{s+1}+...+h_t$.

Có $(k_1+1)...(k_s+1)$ cách chọn bộ $(h_1,h_2,...,h_s)$. Ta xét hai trường hợp:

$\bullet$ TH1: Trong các số $k_{s+1},...,k_t$ có ít nhất một số lẻ: Không mất tính tổng quát giả sử $k_t$ lẻ.

Chọn bộ $(h_{s+1},...,h_{t-1})$ có $(k_{s+1}+1)...(k_{t-1} + 1)$ cách chọn. Với mỗi bộ như vậy có đúng $\frac{k_t+1}{2}$ cách chọn $h_t$ để $h_t$ và $h_{s+1}+...+h_{t-1}$ cùng tính chẵn lẻ.

Do đó số cách chọn bộ $(h_{s+1},...,h_{t})$ là $\frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t} + 1)}{2}$.

$\bullet$ TH2: $2\mid k_{s+1},...,k_t$: 

Nếu $h_t <k_t$ thì theo TH1 số bộ thoả mãn là $\frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t-1}+1)k_t}{2}$.

Nếu $h_t = k_t$ và $h_{t-1} < k_{t-1}$ thì theo TH1 số bộ thoả mãn là $\frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t-2}+1)k_{t-1}}{2}$

...

Nếu $h_t = k_t; h_{t-1}=k_{t-1};...;h_{s+2}=k_{s+2}$ và $h_{s+1} < k_{s+1}$ thì số bộ thoả mãn là $\frac{k_{s+1}}{2}$.

Nếu $h_i = k_i,\forall i = \overline{s+1,t}$ thì số bộ thoả mãn là $1$.

Bằng khai triển dễ dàng chứng minh được: $\frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t} + 1)+1}{2} = \frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t-1}+1)k_t}{2} + \frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t-2}+1)k_{t-1}}{2}+...+\frac{k_{s+1}}{2} + 1$

Do đó số bộ thoả mãn là $\frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t} + 1)+1}{2}$

$\Rightarrow f_1(m) = (k_1+1)...(k_s+1)\left \lfloor \frac{(k_{s+1}+1)...(k_{t} + 1)+1}{2}\right \rfloor$.

Từ đẳng thức $2f_1(m) - f_2(m) = 2017$ ta phải có $(k_1+1)...(k_s+1) = 2017$

$\Leftrightarrow s = 1; k_1 = 2016$.

Vậy $m_{\min} = 2.5^{2016}$.

 

[chuyenndu]

Chinese Southeast MO 2017

https://artofproblem...1487617p8716619