Trên mặt phẳng cho tập hợp $A$ gồm $66$ điểm phân biệt và tập hợp $B$ gồm $16$ đường thẳng phân biệt. Gọi $m$ là số bộ $(a,b)$ sao cho $a \in A, b \in B, a \in b$. Chứng minh $m \leq 159$.
Chứng minh $m \leq 159$.
#1
Đã gửi 30-12-2022 - 10:55
#2
Đã gửi 30-12-2022 - 14:04
Gọi $a_1,a_2,...,a_{66}$ lần lượt là số đường thẳng đi qua $66$ điểm này.
Thế thì $m = \sum_{i=1}^{66} a_i$.
Ta đếm số bộ $(M,\{b,c\})$ trong đó $M\in A; b,c\in B; \{A\} = b \subset c$.
Đếm theo $M$, ta thấy số bộ như vậy là $\sum_{i=1}^{66} \binom{a_i}{2}$.
Đếm theo $b,c$, ta thấy số bộ như vậy không vượt quá $\binom{16}{2}$.
Do đó $\sum_{i=1}^{66} \binom{a_i}{2}\leq \binom{16}{2}\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{66} \left(a_i^2 - a_i\right) \leq 240$.
Với mọi $x\in\mathbb Z$ thì $(x-2)(x-3)\geq 0\Rightarrow x^2\geq 5x-6$.
Dẫn đến $4\sum_{i=1}^{66} a_i- 6.66 \leq 240\Leftrightarrow \sum_{i=1}^{66}a_i\leq 159$.
Vậy $m\leq 159$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 30-12-2022 - 14:05
- perfectstrong và Math04 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh