Mình vẫn chưa giải ra nhưng tiếp cận bước đầu như sau:
Đặt \[{g_i}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\ln {f_i}\left( x \right) \text{ nếu } x > 0\\
- \infty \text{ nếu } x = 0
\end{array} \right.\]
Và \[G\left( X \right) = \ln F\left( X \right) = \sum\limits_i {\ln {f_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right)} = \sum\limits_i {{g_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right)} \]
Ta xét đạo hàm riêng của $G$ với mỗi $x_i$:
\[\begin{align*}
\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}G\left( X \right) & = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}{g_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right) = - \frac{{{f_i}'\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}}{{{f_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}}\\
\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial x_i^2}}G\left( X \right)& = - \frac{{{f_i}''\left( {{A_i} - {x_i}} \right){f_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right) + {f_i}'{{\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}^2}}}{{{f_i}{{\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}^2}}}
\end{align*}\]
Nếu trong trường hợp tổng quát, nếu không biết $f_i$ lồi hay lõm thì ta sẽ khó mà khảo sát $G$.
Nhưng nếu $f_i$ lồi với mọi $i$ (tức là $f_i'' \ge 0$) thì $G$ lõm với từng $x_i$. Như vậy thì ta sẽ có được điều gì?