Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm GTLN của $F = \prod\limits_i {{f_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Ta xem xét một trường hợp đặc biệt của bài toán được nêu ở trang này https://diendantoanh...ng-k-out-of-nf/

 

Cho $n=3$ hàm $f_i:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {0;1} \right]$ là hàm giảm trên $]0;1[$, có đạo hàm bậc 2, và ${f_i}\left( 0 \right) = 1;{f_i}\left( 1 \right) = 0$.

Cho trước các số $A_1,A_2,A_3, B$ dương và $A_i \le 1$.

Tìm $x_1,x_2,x_3 \in [0;1]$ sao cho $x_i \le A_i; x_1 + x_2 + x_3 \le B$ và hàm sau đạt GTLN:

\[F = {f_1}\left( {{A_1} - {x_1}} \right){f_2}\left( {{A_2} - {x_2}} \right){f_3}\left( {{A_3} - {x_3}} \right)\]


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Mình vẫn chưa giải ra nhưng tiếp cận bước đầu như sau:

Đặt \[{g_i}\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
\ln {f_i}\left( x \right) \text{ nếu } x > 0\\
 - \infty \text{ nếu } x = 0
\end{array} \right.\]

Và \[G\left( X \right) = \ln F\left( X \right) = \sum\limits_i {\ln {f_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}  = \sum\limits_i {{g_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right)} \]

Ta xét đạo hàm riêng của $G$ với mỗi $x_i$:

\[\begin{align*}
\frac{\partial }{{\partial {x_i}}}G\left( X \right) & = \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}{g_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right) =  - \frac{{{f_i}'\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}}{{{f_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}}\\
\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial x_i^2}}G\left( X \right)&  =  - \frac{{{f_i}''\left( {{A_i} - {x_i}} \right){f_i}\left( {{A_i} - {x_i}} \right) + {f_i}'{{\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}^2}}}{{{f_i}{{\left( {{A_i} - {x_i}} \right)}^2}}}
\end{align*}\]

 

Nếu trong trường hợp tổng quát, nếu không biết $f_i$ lồi hay lõm thì ta sẽ khó mà khảo sát $G$.

Nhưng nếu $f_i$ lồi với mọi $i$ (tức là $f_i'' \ge 0$) thì $G$ lõm với từng $x_i$. Như vậy thì ta sẽ có được điều gì?

 


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh