Đầu tiên, mời các bạn xem lại kết luận trong post số 40 của chủ đề phân hoạch số tự nhiên n thành 3 phần
Số các bộ không kể thứ tự $(a,b,c)$ mà $a+b+c=n$ là:
$\displaystyle \left\lfloor\frac{n^2+\alpha}{12}\right\rfloor, \;\;\;(3\le \alpha<8)$
Giờ ta sẽ loại đi các bộ $(a,b,c)$ không phải tam giác:
Để dễ lập luận, ta sắp thứ tự các số $a,b,c$ trong mỗi bộ tăng dần, nghĩa là $a\le b\le c$
Với $a+b=n-c\le c$ suy ra $c\ge \left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$
Ứng với mỗi giá trị của $c$ thì phương trình $a+b=n-c$ có $\left\lfloor\frac{n-c}{2}\right\rfloor$ nghiệm sắp thứ tự.
Do đó số bộ cần loại đi là:
$\displaystyle \sum_{c=\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor}^{n} \left\lfloor\frac{n-c}{2}\right\rfloor=\sum_{c=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \left\lfloor\frac{c}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+2}{4}\right\rfloor$
Lưu ý: Ta có công thức $\displaystyle \sum_{k=0}^n \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$
Các bạn có thể dễ dàng chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 10-03-2023 - 15:28
c không được bằng $\lfloor n/2 \rfloor$ khi n lẻ. đã sửa!