Đến nội dung

Hình ảnh

số nghiệm nguyên dương của phương trình $a+b+c=n$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#21
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Số các tam giác cạnh nguyên có chu vi $n$ là $S_n$:
$$S_n=\left\lfloor \frac{n^2+6}{12}\right\rfloor-\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor \left\lfloor \frac{n+2}{4}\right\rfloor$$
Các bạn thử “check” xem kết quả này có trùng với kết quả bạn chanhquocnghiem tìm được không nhé!

Hoàn toàn trùng khớp, thầy Thanh ạ !

Giờ xin thầy "bật mí" xem thầy đã tìm được kết quả đó như thế nào để mọi người học hỏi !


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#22
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

Đầu tiên, mời các bạn xem lại kết luận trong post số 40 của chủ đề phân hoạch số tự nhiên n thành 3 phần

Số các bộ không kể thứ tự $(a,b,c)$ mà $a+b+c=n$ là:

$\displaystyle \left\lfloor\frac{n^2+\alpha}{12}\right\rfloor, \;\;\;(3\le \alpha<8)$

Giờ ta sẽ loại đi các bộ $(a,b,c)$ không phải tam giác:

Để dễ lập luận, ta sắp thứ tự các số $a,b,c$ trong mỗi bộ tăng dần, nghĩa là $a\le b\le c$

Với $a+b=n-c\le c$ suy ra $c\ge \left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$

Ứng với mỗi giá trị của $c$ thì phương trình $a+b=n-c$ có $\left\lfloor\frac{n-c}{2}\right\rfloor$ nghiệm sắp thứ tự.

Do đó số bộ cần loại đi là:

$\displaystyle \sum_{c=\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor}^{n} \left\lfloor\frac{n-c}{2}\right\rfloor=\sum_{c=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \left\lfloor\frac{c}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+2}{4}\right\rfloor$

 

Lưu ý: Ta có công thức $\displaystyle \sum_{k=0}^n \left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$

Các bạn có thể dễ dàng chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 10-03-2023 - 15:28
c không được bằng $\lfloor n/2 \rfloor$ khi n lẻ. đã sửa!


#23
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết

1/ Lập hàm sinh $f(x)$ mà hệ số của $x^n$ là số nghiệm cần tìm. Ta có :
$$f(x)=\sum_{{a,b,c\ge 1\atop a\ge b \ge c }\atop a < b+c}x^{a+b+c}$$
Đặt :
$\begin {align*}
c=y_3+1 \quad\quad y_3\ge 0\\
b=y_2+c \quad\quad y_2\ge 0\\
a=y_1+b\quad\quad y_3\ge 0
\end {align*}$
Do $a<b+c$ nên :
$\begin {align*}
y_1+y_2+y_3+1&<(y_2+y_3+1)+(y_3+1)\\
y_1&<y_3+1\\
y_1&\leq y_3\\
a+b+c&=(y_1+y_2+y_3+1)+(y_2+y_3+1)+(y_3+1)\\
&=y_1+2y_2+3y_3+3\\
\Longrightarrow f(x)=\sum_{y_1,y_2,y_3\geq 0\atop y_1\leq y_3}x^{y_1+2y_2+3y_3+3}
\end {align*}$
Từ $y_1\leq y_3:$
$\begin {align*}
y_3&=t_3+y_1\quad\quad t_3\geq0\\
y_2&=t_2\quad\quad\quad t_2\geq0\\
y_1&=t_1\quad\quad\quad t_1\geq0\\
\Longrightarrow y_1+2y_2+3y_3+3&=t_1+2t_2+3(t_3+t_1)+3\\
&=4t_1+2t_2+3t_3+3\\
\Longrightarrow f(x)&=x^3\sum_{t_1,t_2,t_3\geq0}x^{4t_1+2t_2+3t_3}\\
&=x^3\sum_{t_2\geq0}x^{2t_2}\sum_{t_3\geq0}x^{3t_3}\sum_{t_1\geq0}x^{4t_1}\\
&=\boldsymbol {\frac {x^3}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}}
\end{align*}$
Tách phân thức :
$\begin {align*}
\frac{1}{(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)}&=\frac{7}{32}\cdot \frac{1}{1+x}+\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{(1+x)^2}\\
&+\frac{59}{288}\cdot\frac{1}{1-x}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}+\frac{1}{24}\cdot\frac{1}{(1-x)^3}\\
&+\left(\frac{1}{8}-\frac{x}{8}\right )\cdot\frac{1}{1+x^2}+\left(\frac{2}{9}+\frac{x}{9}\right )\cdot\frac{1}{1+x+x^2}\\
\Longrightarrow \left [ x^n \right ]f(x)&=\left [ x^{n-3} \right ]\left( {\frac{7}{32}\sum_{k\geq0}(-1)^k x^k+\frac {1}{16}\sum_{k\geq0}(k+1)(-1)^kx^k} \right.\\
&+\frac {59}{288}\sum_{k\geq0}x^k+\frac {1}{8}\sum_{k\geq0}(k+1)x^k+\frac {1}{24}\sum_{k\geq0}\binom {k+2}{2}x^k\\
&\left. {+\left ( \frac {1}{8}-\frac{x}{8} \right )\sum_{k\geq0}(-1)^kx^{2k}+\left ( \frac {2}{9}+\frac {x}{9} \right)(1-x)\sum_{k\geq0}x^{3k}}\right)
\end {align*}$

Bỗng nhiên nghĩ đến chỗ này

$4t_1+2t_2+3t_3+3=n$
$\bullet\quad$ Nếu $n$ chẵn $n=2m$ thì $t_3$ là số lẻ
Đặt $t_3=2u+1;\quad(u\ge 0)$
$4t_1+2t_2+6u+6=2m$ hay
$t_2+2t_1+3u+3=m$
Hàm sinh cho pt này là $\dfrac{x^3}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)}$
Cái này chính là $f(m,3)=\left\lfloor\dfrac{m^2+3}{12}\right\rfloor$
$\bullet\quad$ Nếu $n$ lẻ $n=2m+1$ thì $t_3$ là số chẵn
Đặt $t_3=2v;\quad(v\ge 0)$
$4t_1+2t_2+6v+3=2m+1$ hay
$t_2+2t_1+3v+3=m+2$
Cái này chính là $f(m+2,3)=\left\lfloor\dfrac{(m+2)^2+3}{12}\right\rfloor$
Đến đây ta có thể viết kết quả của bài toán bằng công thức:
$$S_n=\left\lfloor\dfrac{\left(2n-3\left\lfloor\frac n2\right\rfloor\right)^2+3}{12}\right\rfloor$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 22-02-2024 - 01:26





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh