Chủ đề này có 1 trả lời

[thanhng2k7]

Tìm $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện: 

$f(x+y+f(y))=f(f(x))+2y$ với mọi $x,y$ thuộc $\mathbb{R}$.

 

[Hoang72]

Kí hiệu $P(a;b)$ là phép thế $x=a;y=b$ vào phương trình hàm đã cho.

$P(x;0)\Rightarrow f(x+f(0)) = f(f(x)),\forall x\in\mathbb R$. $(1)$

$P(0;y)\Rightarrow f(y+f(y)) = f(f(0)) + 2y,\forall y\in\mathbb R$. $(2)$

Ta chứng minh hàm số $y+f(y)$ là toàn ánh.

Thật vậy, ta có: $f(f(x)) + f(x) = f(x + f(0)) + f(x),\forall x\in\mathbb R$.

Do đó để chứng minh $y+f(y)$ là toàn ánh, ta đi chứng minh hàm số $f(x+f(0)) + f(x)$ là toàn ánh.

Tuy nhiên, từ đề bài ta có:

\begin{align*} f(x+y + f(y)) + f(f(0) + x + y + f(y)) &= f(f(x)) + 2y + f(f(x + f(0))) + 2y \\&= f(f(x)) + f(f(x+f(0))) + 4y\end{align*}

Cố định $x$, ta suy ra $f(x) + f(x+f(0))$ là hàm số toàn ánh.

Dẫn đến $y+f(y)$ là hàm số toàn ánh.

Bây giờ, kết hợp $(1),(2)$ và thay vào phương trình hàm đã cho ta có: $f(x + y+f(y)) = f(x + f(0)) + f(y+f(y)) - f(f(0)),\forall x,y\in\mathbb R$

Mà $y+f(y)$ là toàn ánh nên $f(x+y) = f(x+f(0)) + f(y) - f(f(0)),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(x) + f(y) = f(x+y-f(0)) + f(f(0)),\forall x,y\in\mathbb R$.

Do đó từ $(2)$ ta có: $f(f(y)) + f(y + f(0))  - 2f(f(0))=2y,\forall y\in\mathbb R$.

Kết hợp với $(1)$, ta có $f(y+f(0)) = y+f(f(0)),\forall y\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(y) = y + f(f(0)) - f(0),\forall y\in\mathbb R$. (thoả mãn)

Vậy $f(x) = x+c,\forall x\in\mathbb R$.