Chủ đề này có 3 trả lời

[Duc91]

$8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}.$

[Sangnguyen3]

$\Leftrightarrow (2x)^{3}+2x=\sqrt[3]{6x+1}+6x+1 \Leftrightarrow 8x^3=6x+1$

Tới đây bạn tự giải tiếp, bài này nghiệm xấu

[Moon Loves Math]

$\Leftrightarrow (2x)^{3}+2x=\sqrt[3]{6x+1}+6x+1 \Leftrightarrow 8x^3=6x+1$

Tới đây bạn tự giải tiếp, bài này nghiệm xấu

Tiếp nối chương trình từ chỗ bạn Sangnguyen3, ta có:

$8x^3=6x+1$

$\Leftrightarrow 4x^3-3x=\frac{1}{2} \qquad (\ast)$

Xét $f(x)=4x^3-3x$ trên 2 khoảng $(-\infty ,-1)$ và $(1, \infty)$, ta có::

Với $x\in (-\infty, -1)$ thì $f'(x)=12x^2-3>0$ nên $f(x)<f(-1)=-1 \qquad (1)$

Với $x\in (1, \infty)$ thì $f'(x)=12x^2-3>0$ nên $f(x)>f(1)=1 \qquad (2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $f(x)=\frac{1}{2}$ vô nghiệm trên 2 khoảng $(-\infty ,-1)$ và $(1, \infty)$.

Do đó, nếu pt có nghiệm thì $x\in [-1,1]$. Điều này làm ta liên tưởng đến hàm lượng giác.

Thật vậy, đặt $x=\cos{t} \quad (\space t\in[0,2\pi)\space)$ thì $(\ast)$ được viết lại thành:

$4(\cos{t})^3-3\cos{t}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos{3t}=\cos{\frac{\pi}{3}}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} t=\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3}\\t=\frac{-\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3} \end{array}\right.$

Đến đây, kết hợp điều kiện $t\in[0,2\pi)$, ta suy ra được 3 nghiệm $t\in \left \{ \frac{\pi}{9},\frac{5\pi}{9},\frac{7\pi}{9} \right \}$

Suy ra pt ban đầu có 3 nghiệm là $x=\cos{\frac{\pi}{9}}, x=\cos{\frac{5\pi}{9}}, x=\cos{\frac{7\pi}{9}}.$

Thử lại thì thấy thỏa mãn.

[QuocMinh2k8]

$8x^{3}-4x-1=\sqrt[3]{6x+1}$

Đặt $\sqrt[3]{6x+1}$ = a

Phương trình tương đương:

$8x^{3}-a^{3}+2x=a$

$\Leftrightarrow (8x^{3}-a^{3})+\left ( 2x-a \right )=0$

$\Leftrightarrow (2x-a)(4x^{2}+4ax+a^{2})+(2x-a)=0$

$\Leftrightarrow (2x-a)(4x^{2}+4ax+a^{2}+1)=0$

Vì $4x^{2}+4xa+a^{2}+1\geqslant 0$ với mọi x

$\Rightarrow 2x-a=0$

$\Leftrightarrow 2x=a$

Thay a = $\sqrt[3]{6x+1}$

$\Rightarrow 2x=\sqrt[3]{6x+1}$

$\Leftrightarrow 8x^{3}=6x+1$

$\Leftrightarrow 8^{3}-6x-1=0$

Còn lại bạn bấm máy tính nha, nghiệm xấu nên mình ko nhập được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 14-02-2023 - 22:43