Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa:
$f^2(x)+f^2(y) \leq 2f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R}$.
Tìm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa:
$f^2(x)+f^2(y) \leq 2f(xy), \forall x,y \in \mathbb{R}$.
Thay $x=y$ ta có $f^2(x)\leq f(x^2),\forall x\in\mathbb R$.
Do đó $f(x)\geq 0,\forall x\in\mathbb R$.
Thay $y=1$ ta có $\left[f(x) - 1\right]^2 \leq 1 - f^2(1),\forall x\in\mathbb R$. $(*)$
Suy ra $f$ bị chặn.
Giả sử tồn tại $x_0$ sao cho $|f(x_0)|> 1$.
Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh: $f\left(x_0^{2^n}\right) \geq f^{2^n}(x_0),\forall n\in\mathbb N^*$.
Suy ra $\lim_{n\to +\infty} f\left(x_0^{2^n}\right) = +\infty$, vô lí vì $f$ bị chặn.
Do đó với mọi $x\in\mathbb R$ thì $f(x)\in \{0; 1; -1\}$
$\Rightarrow f(1)\in \{0; 1\}$ (Do $f(1)\geq 0$).
Nếu $f(1) = 1$ thì từ $(*)$ ta có $f(x) = 1,\forall x\in\mathbb R$.
Nếu $f(1) = 0$ thì thay $y = \frac{1}{x}$ ta có $f^2(x) + f^2\left(\frac{1}{x}\right)\leq 0\Rightarrow f(x) = 0,\forall x\in\mathbb R$.
Vậy...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 02-01-2023 - 20:44
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh