Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $3$, biết số đó gồm $2018$ chữ số lấy từ tập $X=\left \{ 3;5;7;9 \right \}$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-05-2023 - 10:24
LaTex
Lời giải hovutenha, 06-01-2023 - 20:37
Bài này sử dụng truy hồi
gọi tập số tự nhiên $n$ chữ số chia hết cho 3 là $A(n)$
gọi tập số tự nhiên $n$ chữ số chia cho 3 dư 1 là $B(n)$
gọi tập số tự nhiên $n$ chữ số chia cho 3 dư 2 là $C(n)$
Cần: $A(2018)$
Bài này cần xét chữ số cuối cùng
xét 1 số thuộc $A(n)$ thì có 2 cách chọn $(3,9)$ chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc $A(n+1)$
xét 1 số thuộc $B(n)$ thì có 1 cách chọn $(5)$ chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc $A(n+1)$
xét 1 số thuộc $C(n)$ thì có 1 cách chọn $(7)$ chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc $A(n+1)$
suy ra: $A(n+1) = 2A(n) + B(n) + C(n)$
CMTT ta có $B(n+1)= A(n) + 2B(n) + C(n)$ và $C(n+1) = A(n) + B(n) + 2C(n)$
suy ra :
\begin{align*} A(n+1) & = 2A(n) + B(n) + C(n) \\ & = 2A(n) + A(n-1) + 2B(n-1) + C(n-1) + A(n-1) + B(n-1) + 2C(n-1) \\ & = 2A(n) - 4A(n-1) + 3(2A(n-1) + B(n-1) + C(n-1)) \\ & =5A(n) - 4A(n-1) \\ \Rightarrow A(n) & = 5A(n-1) - 4A(n-2)$ \end{align*}
sử dụng phương trình đặc trưng
$x^2 - 5x +4 =0$ có nghiệm $x=1$ và $x=4$
suy ra $A(n) = a + b4^n$
có $A(1) = 2$ và $A(2) = 6$ thay vào trên và giải hệ ta tìm được $a=\frac{2}{3}$ và $b =\frac{1}{3}$
suy ra $A(n) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}4^n$
suy ra $A(2018) = ....$
hôm nay mạng bị lag nên không gõ được latex, bạn thông cảm nhé!
Đi đến bài viết »Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $3$, biết số đó gồm $2018$ chữ số lấy từ tập $X=\left \{ 3;5;7;9 \right \}$ ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 11-05-2023 - 10:24
LaTex
Bài này sử dụng truy hồi
gọi tập số tự nhiên $n$ chữ số chia hết cho 3 là $A(n)$
gọi tập số tự nhiên $n$ chữ số chia cho 3 dư 1 là $B(n)$
gọi tập số tự nhiên $n$ chữ số chia cho 3 dư 2 là $C(n)$
Cần: $A(2018)$
Bài này cần xét chữ số cuối cùng
xét 1 số thuộc $A(n)$ thì có 2 cách chọn $(3,9)$ chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc $A(n+1)$
xét 1 số thuộc $B(n)$ thì có 1 cách chọn $(5)$ chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc $A(n+1)$
xét 1 số thuộc $C(n)$ thì có 1 cách chọn $(7)$ chữ số cuối cùng để tạo thành 1 số thuộc $A(n+1)$
suy ra: $A(n+1) = 2A(n) + B(n) + C(n)$
CMTT ta có $B(n+1)= A(n) + 2B(n) + C(n)$ và $C(n+1) = A(n) + B(n) + 2C(n)$
suy ra :
\begin{align*} A(n+1) & = 2A(n) + B(n) + C(n) \\ & = 2A(n) + A(n-1) + 2B(n-1) + C(n-1) + A(n-1) + B(n-1) + 2C(n-1) \\ & = 2A(n) - 4A(n-1) + 3(2A(n-1) + B(n-1) + C(n-1)) \\ & =5A(n) - 4A(n-1) \\ \Rightarrow A(n) & = 5A(n-1) - 4A(n-2)$ \end{align*}
sử dụng phương trình đặc trưng
$x^2 - 5x +4 =0$ có nghiệm $x=1$ và $x=4$
suy ra $A(n) = a + b4^n$
có $A(1) = 2$ và $A(2) = 6$ thay vào trên và giải hệ ta tìm được $a=\frac{2}{3}$ và $b =\frac{1}{3}$
suy ra $A(n) = \frac{2}{3} + \frac{1}{3}4^n$
suy ra $A(2018) = ....$
hôm nay mạng bị lag nên không gõ được latex, bạn thông cảm nhé!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-03-2023 - 15:03
LaTeX
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 30-03-2023 - 08:26
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 30-04-2023 - 09:49
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh