Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $S$ là trung điểm $EF$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$. Kéo dài $EF$ cắt $BC$ tại $T$. Đường cao $AD$ cắt $(I)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $M$ nằm giữa $A$ và $N$. Từ $N$ vẽ $NQ$ $//$ $EF$ ($Q\in (I)$) . $MQ$ cắt $EF$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ là trung điểm $EF$.



#2
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Học cấp 3 rồi nên cách THCS khó nghĩ quá, có cách này bạn tham khảo vậy :)

Dễ thấy: (TD,BC) = -1 mà có BMC là góc vuông thì MB và MC là phân giác trong và ngoài của góc TMD.

khi đó có góc : TMB=BMD=MCB, suy ra TM là tiếp tuyến của (I) và cũng có luôn TN là tiếp tuyến của (I)

khi đó ta có tứ giác MENF là tứ giác điều hòa mà có QN // EF thì có QM đi qua trung điểm EF (dpcm)

 

 

p/s: kiến thức này thuộc chương hàng điểm điều hòa và tứ giác điều hòa



#3
truongphat266

truongphat266

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Em mới học lớp 9 thôi anh  :(



#4
Nam7979

Nam7979

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
Tối nay tôi giải thử

#5
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 539 Bài viết

Cách lớp 9 thì cũng có nhưng khá dài:

Bằng tính chất tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được các cặp tam giác sau đồng dạng: $\Delta DFB\sim\Delta DCE(g.g), \Delta DFT\sim\Delta DIE(g.g)$.

Dẫn đến $DE.DF = DB.DC; DE.DF = DI.DT$ nên $DB.DC=DI.DT$

$\Rightarrow DI.DT = DM^2=DN^2\Rightarrow \angle TMI = \angle TNI = 90^\circ$.

Suy ra $TM,TN$ là tiếp tuyến tới $(I)$.

Do đó $\frac{MF}{ME} = \frac{TF}{TM} = \frac{TF}{TN} = \frac{NF}{NE}$

$\Rightarrow \frac{MF}{FN} = \frac{ME}{EN}$.

Có $EFNQ$ là hình thang cân.

Biến đổi góc, chứng minh được $\Delta MSE\sim\Delta MFN(g.g), \Delta MSF\sim\Delta MEN(g.g)$

$\Rightarrow \frac{MS}{SE} = \frac{MF}{FN} = \frac{ME}{EN} = \frac{MS}{SF}$

$\Rightarrow SE=SF$. (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 07-01-2023 - 19:14





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh