Cho tam giác $ABC$ 3 đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $BC$. Kéo dài $EF$ cắt $BC$ tại $T$. Đường cao $AD$ cắt $(I)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $M$ nằm giữa $A$ và $N$. Từ $N$ vẽ $NQ$ $//$ $EF$ ($Q\in (I)$) . $MQ$ cắt $EF$ tại $S$. Chứng minh rằng $S$ là trung điểm $EF$.
Chứng minh rằng $S$ là trung điểm $EF$
#2
Đã gửi 06-01-2023 - 20:03
Học cấp 3 rồi nên cách THCS khó nghĩ quá, có cách này bạn tham khảo vậy
Dễ thấy: (TD,BC) = -1 mà có BMC là góc vuông thì MB và MC là phân giác trong và ngoài của góc TMD.
khi đó có góc : TMB=BMD=MCB, suy ra TM là tiếp tuyến của (I) và cũng có luôn TN là tiếp tuyến của (I)
khi đó ta có tứ giác MENF là tứ giác điều hòa mà có QN // EF thì có QM đi qua trung điểm EF (dpcm)
p/s: kiến thức này thuộc chương hàng điểm điều hòa và tứ giác điều hòa
#3
Đã gửi 06-01-2023 - 22:56
Em mới học lớp 9 thôi anh
#4
Đã gửi 07-01-2023 - 13:01
#5
Đã gửi 07-01-2023 - 19:13
Cách lớp 9 thì cũng có nhưng khá dài:
Bằng tính chất tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được các cặp tam giác sau đồng dạng: $\Delta DFB\sim\Delta DCE(g.g), \Delta DFT\sim\Delta DIE(g.g)$.
Dẫn đến $DE.DF = DB.DC; DE.DF = DI.DT$ nên $DB.DC=DI.DT$
$\Rightarrow DI.DT = DM^2=DN^2\Rightarrow \angle TMI = \angle TNI = 90^\circ$.
Suy ra $TM,TN$ là tiếp tuyến tới $(I)$.
Do đó $\frac{MF}{ME} = \frac{TF}{TM} = \frac{TF}{TN} = \frac{NF}{NE}$
$\Rightarrow \frac{MF}{FN} = \frac{ME}{EN}$.
Có $EFNQ$ là hình thang cân.
Biến đổi góc, chứng minh được $\Delta MSE\sim\Delta MFN(g.g), \Delta MSF\sim\Delta MEN(g.g)$
$\Rightarrow \frac{MS}{SE} = \frac{MF}{FN} = \frac{ME}{EN} = \frac{MS}{SF}$
$\Rightarrow SE=SF$. (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 07-01-2023 - 19:14
- hovutenha, Moon Loves Math, truongphat266 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh