Chủ đề này có 2 trả lời

[truongphat266]

Cho $a,b,m,n$ là các số dương ($m,n\in \mathbb{Z}+$) 

Chứng minh rằng: $a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+a^{n}b^{m}$

 

[acbd]

Cho $a,b,m,n$ là các số dương ($m,n\in \mathbb{Z}+$) 

Chứng minh rằng: $a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}b^{n}+a^{n}b^{m}$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 

$(a^m-b^m)(a^n-b^n)\geq 0$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh vế trái luôn đúng với điều kiện của đề bài.

Có 3 trường hợp: 0 < a < b, a = b > 0, a > b > 0

* Trường hợp 1: 0 < a < b

Do m, n nguyên dương nên suy ra $a^m < b^m$, $a^n<b^n$

$\Rightarrow a^m-b^m<0, a^n-b^n<0$

$\Rightarrow (a^m-b^m)(a^n-b^n)>0$

* Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi acbd: 07-01-2023 - 23:52

[Moon Loves Math]

Một cách làm khác là áp dụng bất đẳng thức AM-GM.

Thật vậy, xét biến đổi sau:

$\frac{m}{m+n}a^{m+n}+\frac{n}{m+n}b^{m+n}=\underbrace{\frac{1}{m+n}a^{m+n}+\cdots+\frac{1}{m+n}a^{m+n}}_{m}+\underbrace{\frac{1}{m+n}b^{m+n}+\cdots+\frac{1}{m+n}b^{m+n}}_{n}$

$\geq (m+n)\sqrt[m+n]{\left ( \frac{1}{m+n}a^{m+n} \right )^m\cdot \left ( \frac{1}{m+n}b^{m+n} \right )^n}=(m+n)\sqrt[m+n]{\left ( \frac{1}{m+n}a^mb^n \right )^{m+n}}$

$= (m+n)\left ( \frac{1}{m+n}a^mb^n \right )=a^mb^n$

Biến đổi tương tự, ta cũng có: $\frac{n}{m+n}a^{m+n}+\frac{m}{m+n}b^{m+n}\geq a^nb^m$

Cộng hai bất đẳng thức lại, ta có đpcm.