Đề bài: Cho $A$ là tập hợp các số nguyên không âm không lớn hơn $n$, đôi một phân biệt, thõa mãn tích của $2$ số bất kì thuộc $A$ đều là số chính phương. Hỏi tập $A$ có tối đa bao nhiêu phần tử.
#2
Đã gửi 08-01-2023 - 20:09
Hoang72
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 539 Bài viết
Thiếu úy
Xét $x$ là một phần tử bất kì thuộc $A$. Đặt $x=m^2 . p$, với $m,n\in\mathbb N^*$ và $p$ là một số square-free.
Thế thì $\forall y\in A$, ta có $yp$ là số chính phương.
Mà $p$ là số square-free nên $p\mid y$ và $\frac{y}{p}$ là số chính phương.
Vì $\frac{y}{p} \leq \frac{n}{p}$ nên có tối đa $\left \lfloor \sqrt{\frac{n}{p}}\right\rfloor + 1$ phần tử của $A$ như vậy.
Để được tối đa các phần tử thì $p=1$ và khi đó có $A$ có nhiều nhất $\lfloor \sqrt{n}\rfloor + 1$ phần tử.
Đẳng thức xảy ra khi $A$ là tập hợp các số chính phương không lớn hơn $n$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 08-01-2023 - 20:09
- perfectstrong và WannaBeMe thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: tổ hợp, thcs
Solved
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
