Cho tam giác ABC nội tiếp (O) các đường cao AD,BE,CF và trực tâm H. M,N,P lần lượt là trung điểm của BC,CA,AB. X,Y,Z là các điểm nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC. CMR: MX,NY,PZ đồng quy trên OH <=> DX,EY,FZ đồng quy trên OH
#2
Đã gửi 18-01-2023 - 16:51
Hoang72
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 520 Bài viết
Thiếu úy
Đổi mô hình về tam giác $MNP$, có $(O_c)$ là tâm ngoại và $K$ là trực tâm; $DX\parallel EF, EY\parallel FD, FZ\parallel DE$.
Dễ thấy $OH\equiv O_cK$.
Chiều thuận: Giả sử $MX,NY,PZ$ đồng quy tại $I$ thuộc $O_cK$.
Kẻ đường kính $DD',EE',FF'$ của $(O)$.
Dễ dàng chỉ ra $MD',NE',PF'$ là ba đường cao của $\Delta MNP$.
Áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix}M&D &E'\\N &E &D' \end{vmatrix}$ suy ra $EM\cap DN\subset O_cK$.
Lại có áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix}D & Y & M\\ E & X & N \end{vmatrix}$ suy ra $DX\cap EY, I, EM\cap DN$ thẳng hàng.
Mà $I\in O_cK$ nên $DX, EY, O_cK$ đồng quy.
Tương tự $EY,FZ,O_cK$ đồng quy. Vậy $DX,EY,FZ$ đồng quy tại điểm thuộc $O_cK$.
Chiều đảo: Hoàn toàn tương tự.
Hình gửi kèm
- Explorer và Moon Loves Math thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, euler, nội tiếp, trực tâm, đường cao, trung điểm, đồng quy, hình
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
