Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

Dãy số tăng và chặn trên bởi $a$ . $lim u_n = a$ là đúng hay sai?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Ruka

Ruka

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết

Đã gửi 18-01-2023 - 22:22

Đối với dãy số $u_n$ nếu ta chứng minh được $u_n$ tăng và bị chặn trên bởi $1$ số $K$ 

Nếu kết luận $lim u_n = K$ thì điều đó đúng hay sai? Điều ngược lại có đúng không?

 

Ngoài việc tìm giới hạn của $1$ dãy số bằng cách đưa về phương trình giới hạn mình còn có cách nào khác nữa không ạ?

 

 



#2 Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 23 Bài viết

Đã gửi 19-01-2023 - 10:31

  • Dãy $(u_n)$ tăng và bị chặn trên bởi $K\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}u_n=K$ là sai.

Thật vậy, xét dãy số yêu thích của mình: $x_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \quad (n\in\mathbb{N})$

Trước tiên ta đi chứng minh $(x_n)$ là dãy tăng, hay $\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}> \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \quad (1)$

Áp dụng AM-GM, có: $1+\frac{1}{n+1}\geq (n+1) \sqrt[n+1]{\left ( \frac{1}{n} \right )^n\frac{1}{n+1}}= \sqrt[n+1]{\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n\frac{n+1}{n+1}}=\sqrt[n+1]{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n}$

Đẳng thức không xảy ra nên ta thu được $(1)$

Ta cần chỉ ra $x_{n}$ bị chặn trên bởi một số $K$ nào đó.

Có: $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^k\left ( \frac{1}{n} \right )^k=1+C_{n}^1\cdot \frac{1}{n}+C_{n}^2\cdot \frac{1}{n^2}+...+C_n^{n}\cdot \frac{1}{n^n}=2+C_{n}^2\cdot \frac{1}{n^2}+...+C_n^{n}\cdot \frac{1}{n^n}$

Mặt khác, với $2\leq k\leq n$, do $C_{n}^k\cdot \frac{1}{n^k}=\frac{n!}{(n-k)!k!n^k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^kk!}<\frac{1}{k!}<\frac{1}{k(k-1)}$

Nên suy ra: $x_n<2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...\frac{1}{(n-1)n}=2+1-\frac{1}{n}<3 \quad (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $(x_n)$ tăng và bị chặn trên, tuy nhiên dãy $(x_n)$ không hội tụ về $3$, mà hội tụ về hằng số Euler nổi tiếng $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=e\approx 2,7182818...$

  • Điều ngược lại là sai, dãy số $(u_n)$ có thể có giới hạn là $K$, tuy nhiên không nhất thiết là dãy tăng, (vì nó có thể là dãy giảm, hoặc luân phiên tăng giảm).

Nếu dãy $(u_n)$ tăng, và có giới hạn $K$, thì ta có $x_n\leq K$ với mọi $n$.

Tương tự, với dãy $(u_n)$ giảm và có giới hạn $K$, ta có $x_n\geq K$ với mọi $n$.

  • Ngoài cách tìm giới hạn bằng cách đưa về phương trình giới hạn, ta còn một số cách phổ biến khác như tìm công thức tổng quát của dãy rồi cho $n\rightarrow \infty$, sử dụng định lý Lagrange, v.v. Ngoài ra thì một vài cách nâng cao hơn, như định lý trung bình Cesaro, định lý Stolz, hay tiêu chuẩn Cauchy, bạn có thể tìm đọc thêm ở trên mạng. 


#3 chuyenndu

chuyenndu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-01-2023 - 06:57

bị chặn trên bởi K thì cũng bị chặn trên bởi K+1,K+2,K+3,...

như thế thì sao mà biết cái nào là giới hạn

nếu với mấy thằng K như thế tìm được inf thì ok



#4 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4630 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 20-01-2023 - 16:10

Đối với dãy số $u_n$ nếu ta chứng minh được $u_n$ tăng và bị chặn trên bởi $1$ số $K$ 

Nếu kết luận $lim u_n = K$ thì điều đó đúng hay sai? Điều ngược lại có đúng không?

 

Ngoài việc tìm giới hạn của $1$ dãy số bằng cách đưa về phương trình giới hạn mình còn có cách nào khác nữa không ạ?

Lấy ví dụ đơn giản là $x_n = 1 - \frac{1}{n}$. Dãy này tăng và bị chặn bởi $gogolplex = 10^{10^{100}}$, nhưng lim lại chỉ là $1$ :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh