- Dãy $(u_n)$ tăng và bị chặn trên bởi $K\Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}u_n=K$ là sai.
Thật vậy, xét dãy số yêu thích của mình: $x_{n}=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \quad (n\in\mathbb{N})$
Trước tiên ta đi chứng minh $(x_n)$ là dãy tăng, hay $\left ( 1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}> \left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \quad (1)$
Áp dụng AM-GM, có: $1+\frac{1}{n+1}\geq (n+1) \sqrt[n+1]{\left ( \frac{1}{n} \right )^n\frac{1}{n+1}}= \sqrt[n+1]{\left ( \frac{n+1}{n} \right )^n\frac{n+1}{n+1}}=\sqrt[n+1]{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n}$
Đẳng thức không xảy ra nên ta thu được $(1)$
Ta cần chỉ ra $x_{n}$ bị chặn trên bởi một số $K$ nào đó.
Có: $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^k\left ( \frac{1}{n} \right )^k=1+C_{n}^1\cdot \frac{1}{n}+C_{n}^2\cdot \frac{1}{n^2}+...+C_n^{n}\cdot \frac{1}{n^n}=2+C_{n}^2\cdot \frac{1}{n^2}+...+C_n^{n}\cdot \frac{1}{n^n}$
Mặt khác, với $2\leq k\leq n$, do $C_{n}^k\cdot \frac{1}{n^k}=\frac{n!}{(n-k)!k!n^k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{n^kk!}<\frac{1}{k!}<\frac{1}{k(k-1)}$
Nên suy ra: $x_n<2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+...\frac{1}{(n-1)n}=2+1-\frac{1}{n}<3 \quad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $(x_n)$ tăng và bị chặn trên, tuy nhiên dãy $(x_n)$ không hội tụ về $3$, mà hội tụ về hằng số Euler nổi tiếng $\lim_{n\rightarrow \infty}x_n=e\approx 2,7182818...$
- Điều ngược lại là sai, dãy số $(u_n)$ có thể có giới hạn là $K$, tuy nhiên không nhất thiết là dãy tăng, (vì nó có thể là dãy giảm, hoặc luân phiên tăng giảm).
Nếu dãy $(u_n)$ tăng, và có giới hạn $K$, thì ta có $x_n\leq K$ với mọi $n$.
Tương tự, với dãy $(u_n)$ giảm và có giới hạn $K$, ta có $x_n\geq K$ với mọi $n$.
- Ngoài cách tìm giới hạn bằng cách đưa về phương trình giới hạn, ta còn một số cách phổ biến khác như tìm công thức tổng quát của dãy rồi cho $n\rightarrow \infty$, sử dụng định lý Lagrange, v.v. Ngoài ra thì một vài cách nâng cao hơn, như định lý trung bình Cesaro, định lý Stolz, hay tiêu chuẩn Cauchy, bạn có thể tìm đọc thêm ở trên mạng.