Chủ đề này có 1 trả lời

[Math04]

Cho ba dãy dương $(a_n),(b_n),(c_n)$ thỏa $\forall n \geq 0$: $\left\{\begin{matrix}a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sqrt{b_nc_n}} &  & \\b_{n+1}=b_n+\frac{1}{\sqrt{c_na_n}} &  & \\ c_{n+1}=c_n+\frac{1}{\sqrt{a_nb_n}} &  & \end{matrix}\right.$ Chứng minh $lima_n=limb_n=limc_n=+\infty$

[Hoang72]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1\leq b_1\leq c_1\Rightarrow a_n \leq b_n\leq c_n,\forall n\in\mathbb N^*$.

Dễ thấy $(a_n), (b_n), (c_n)$ là các dãy tăng.

Ta có: $c_{n+1}= c_n + \frac{1}{\sqrt{a_nb_n}} \geq c_n + \frac{1}{c_n}$ nên nếu $\lim c_n = L$ thì $L\geq L +\frac{1}{L}$, vô lí.

Mà $(c_n)$ là dãy tăng nên $\lim c_n = +\infty$.

Ta có: $\frac{b_{n+1}-b_n}{c_{n+1}-c_n} = \sqrt{\frac{b_n}{c_n}}\geq \frac{b_n}{c_n}\Rightarrow b_{n+1}c_n\geq b_nc_{n+1}\Rightarrow \frac{b_{n+1}}{c_{n+1}}\geq \frac{b_n}{c_n}$.

Do đó dãy $\left\{\frac{b_n}{c_n}\right\}$ là dãy tăng, và bị chặn trên bởi $1$ nên nó có giới hạn hữu hạn.

Đặt $\lim \frac{b_n}{c_n} = K\Rightarrow \lim\frac{b_{n+1} - b_n}{c_{n+1} - c_n} = \lim\sqrt{\frac{b_n}{c_n}} = \sqrt{K}$.

Áp dụng định lý Stolz - Cesaro ta có $\lim \frac{b_n}{c_n} = K$

$\Rightarrow K = \sqrt{K}$. Mà $K>0$ nên $K=1$

$\Rightarrow \lim \frac{b_n}{c_n} = 1\Rightarrow \lim b_n = +\infty$.

Tương tự $\lim a_n = +\infty$. Ta có đpcm.