Đến nội dung

Hình ảnh

Cho tgABC nt (O) trực tâm H, A' đx A qua BC,S là gđ tiếp tuyến tại B,C của (O). BS cắt A'C tại Y. CS cắt A'B tại X. XY cắt BC tại K. CM OH vgóc AK

hình học tam giác nội tiếp tiếp tuyến vuông góc trực tâm đối xứng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có A' đối xứng A qua BC và S là giao điểm hai tiếp tuyến tại B,C của (O). BS cắt A'C tại Y. CS cắt A'B tại X. XY cắt BC tại K. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. CMR: OH vuông góc AK



#2
Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 520 Bài viết

$(BOC)$ cắt lại $AC,AB$ theo thứ tự tại $D,E$ và $DE$ cắt $BC$ tại $F$.

Dễ dàng chứng minh được $CB,CX$ đẳng giác trong $\angle ECA'$ và $BC,BY$ đẳng giác trong $\angle DBA'$.

Từ đây, biến đổi tỉ số và sử dụng Menelaus ta chứng minh được $\frac{KB}{KC} = \frac{FD}{FE}$.

Mà $DE$ là đường đối song trong $\Delta ABC$ nên $AK,AF$ đẳng giác trong $\angle BAC$.

$(ADE)$ cắt lại $(O)$ tại $T$. Dễ dàng chứng minh được $A,F,T$ thẳng hàng (Điểm Miquel của tứ giác toàn phần).

$H'$ đối xứng với $H$ qua trung trực $BC$.

$T$ là tâm vị tự quay biến $B$ thành $E$ và $C$ thành $D$, mà $\Delta H'BC\sim\Delta OED$ nên ảnh của $H'$ qua phép vị tự quay là $O$

$\Rightarrow (TO,OH')\equiv (TE,EB)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,OH')\equiv( TF,BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH',BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (AT,AO)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$.

Xét phép đối xứng phân giác $\angle BAC$ thì $AT$ thành $AF$, còn $AO$ thành đường thẳng vuông góc với $BC$ nên suy ra $AK\perp OH$. (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 20-01-2023 - 21:06






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, tam giác, nội tiếp, tiếp tuyến, vuông góc, trực tâm, đối xứng

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh