Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có A' đối xứng A qua BC và S là giao điểm hai tiếp tuyến tại B,C của (O). BS cắt A'C tại Y. CS cắt A'B tại X. XY cắt BC tại K. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. CMR: OH vuông góc AK

[Hoang72]

$(BOC)$ cắt lại $AC,AB$ theo thứ tự tại $D,E$ và $DE$ cắt $BC$ tại $F$.

Dễ dàng chứng minh được $CB,CX$ đẳng giác trong $\angle ECA'$ và $BC,BY$ đẳng giác trong $\angle DBA'$.

Từ đây, biến đổi tỉ số và sử dụng Menelaus ta chứng minh được $\frac{KB}{KC} = \frac{FD}{FE}$.

Mà $DE$ là đường đối song trong $\Delta ABC$ nên $AK,AF$ đẳng giác trong $\angle BAC$.

$(ADE)$ cắt lại $(O)$ tại $T$. Dễ dàng chứng minh được $A,F,T$ thẳng hàng (Điểm Miquel của tứ giác toàn phần).

$H'$ đối xứng với $H$ qua trung trực $BC$.

$T$ là tâm vị tự quay biến $B$ thành $E$ và $C$ thành $D$, mà $\Delta H'BC\sim\Delta OED$ nên ảnh của $H'$ qua phép vị tự quay là $O$

$\Rightarrow (TO,OH')\equiv (TE,EB)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,OH')\equiv( TF,BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH',BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (AT,AO)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$.

Xét phép đối xứng phân giác $\angle BAC$ thì $AT$ thành $AF$, còn $AO$ thành đường thẳng vuông góc với $BC$ nên suy ra $AK\perp OH$. (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 20-01-2023 - 21:06