Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Cho tgABC nt (O) trực tâm H, A' đx A qua BC,S là gđ tiếp tuyến tại B,C của (O). BS cắt A'C tại Y. CS cắt A'B tại X. XY cắt BC tại K. CM OH vgóc AK

hình học tam giác nội tiếp tiếp tuyến vuông góc trực tâm đối xứng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-01-2023 - 16:57

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có A' đối xứng A qua BC và S là giao điểm hai tiếp tuyến tại B,C của (O). BS cắt A'C tại Y. CS cắt A'B tại X. XY cắt BC tại K. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. CMR: OH vuông góc AK



#2 Hoang72

Hoang72

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 509 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Codingg

Đã gửi 20-01-2023 - 21:06

$(BOC)$ cắt lại $AC,AB$ theo thứ tự tại $D,E$ và $DE$ cắt $BC$ tại $F$.

Dễ dàng chứng minh được $CB,CX$ đẳng giác trong $\angle ECA'$ và $BC,BY$ đẳng giác trong $\angle DBA'$.

Từ đây, biến đổi tỉ số và sử dụng Menelaus ta chứng minh được $\frac{KB}{KC} = \frac{FD}{FE}$.

Mà $DE$ là đường đối song trong $\Delta ABC$ nên $AK,AF$ đẳng giác trong $\angle BAC$.

$(ADE)$ cắt lại $(O)$ tại $T$. Dễ dàng chứng minh được $A,F,T$ thẳng hàng (Điểm Miquel của tứ giác toàn phần).

$H'$ đối xứng với $H$ qua trung trực $BC$.

$T$ là tâm vị tự quay biến $B$ thành $E$ và $C$ thành $D$, mà $\Delta H'BC\sim\Delta OED$ nên ảnh của $H'$ qua phép vị tự quay là $O$

$\Rightarrow (TO,OH')\equiv (TE,EB)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,OH')\equiv( TF,BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH',BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$

$\Rightarrow (AT,AO)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$.

Xét phép đối xứng phân giác $\angle BAC$ thì $AT$ thành $AF$, còn $AO$ thành đường thẳng vuông góc với $BC$ nên suy ra $AK\perp OH$. (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 20-01-2023 - 21:06






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, tam giác, nội tiếp, tiếp tuyến, vuông góc, trực tâm, đối xứng

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh