Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có A' đối xứng A qua BC và S là giao điểm hai tiếp tuyến tại B,C của (O). BS cắt A'C tại Y. CS cắt A'B tại X. XY cắt BC tại K. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. CMR: OH vuông góc AK
#1
Đã gửi 19-01-2023 - 16:57
#2
Đã gửi 20-01-2023 - 21:06
$(BOC)$ cắt lại $AC,AB$ theo thứ tự tại $D,E$ và $DE$ cắt $BC$ tại $F$.
Dễ dàng chứng minh được $CB,CX$ đẳng giác trong $\angle ECA'$ và $BC,BY$ đẳng giác trong $\angle DBA'$.
Từ đây, biến đổi tỉ số và sử dụng Menelaus ta chứng minh được $\frac{KB}{KC} = \frac{FD}{FE}$.
Mà $DE$ là đường đối song trong $\Delta ABC$ nên $AK,AF$ đẳng giác trong $\angle BAC$.
$(ADE)$ cắt lại $(O)$ tại $T$. Dễ dàng chứng minh được $A,F,T$ thẳng hàng (Điểm Miquel của tứ giác toàn phần).
$H'$ đối xứng với $H$ qua trung trực $BC$.
$T$ là tâm vị tự quay biến $B$ thành $E$ và $C$ thành $D$, mà $\Delta H'BC\sim\Delta OED$ nên ảnh của $H'$ qua phép vị tự quay là $O$
$\Rightarrow (TO,OH')\equiv (TE,EB)\pmod \pi$
$\Rightarrow (TO,OH')\equiv( TF,BC)\pmod \pi$
$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH',BC)\pmod \pi$
$\Rightarrow (TO,TF)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$
$\Rightarrow (AT,AO)\equiv (OH,BC)\pmod \pi$.
Xét phép đối xứng phân giác $\angle BAC$ thì $AT$ thành $AF$, còn $AO$ thành đường thẳng vuông góc với $BC$ nên suy ra $AK\perp OH$. (đpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 20-01-2023 - 21:06
- DOTOANNANG, Explorer và Moon Loves Math thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học, tam giác, nội tiếp, tiếp tuyến, vuông góc, trực tâm, đối xứng
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a) Chứng minh rằng K thuộc đường tròn đường kính BC . b) Chứng minh rằng IMC KGJ 45oBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a. Chứng minh rằng P, Q, T thẳng hàng. b. Chứng minh các đường thẳng PQ, BC và AY đồng quy.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học, hình học phẳng |
|
|||
|
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Hình học →
Hình học phẳng →
Chứng minh rằng AD là phân giác góc BACBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
3 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh