Đến nội dung

Hình ảnh

$\bigtriangleup ABC$ nhọn, đường cao $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $H$, $BD=CD=1/2 BC$. Đường thẳng $a$ qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $BM$, &

hinhhoc chungminh duongcao

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết

Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn $(AC>AB)$, các đường cao $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $H$. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Kẻ đường thẳng $a$ đi qua A vuông góc với $AD$ cắt $BM$ và $CN$ tại $I$ và $K$. Chứng minh $IA=AK$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 19-01-2023 - 21:55


#2
WannaBeMe

WannaBeMe

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Hình:
Screenshot_20230126_095559.png

Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $B$ và $C$ xuống $KI$

$\Rightarrow BE // CF // AD$ (cùng vuông góc với $KI$)

Ta có $BEFC$ là hình thang (do $BE // CF$), $D$ là trung điểm của $BC$, $AD // BE // CF$

$\Rightarrow A$ là trung điểm của $EF$, $AE = AF$

Ta lại có $\widehat{KEB} = \widehat{KNB} (= 90^{\circ})$, suy ra tứ giác $KENB$ nội tiếp

$\Rightarrow AE\cdot AK=AN\cdot AB (1)$ (bổ đề phương tích)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có các tứ giác $BNMC$ và $CMFI$ nội tiếp, dẫn đến $AN\cdot AB=AM\cdot AC (2)$ và $AM\cdot AC=AF\cdot AI (3)$

Từ $(1), (2), (3)$, $\Rightarrow AE\cdot AK=AF\cdot AI$

Mà $AE = AF$ suy ra $AK = AI$ (đpcm)

 



#3
WannaBeMe

WannaBeMe

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Cách 2:

Hình:

Screenshot_20230126_101408.png

Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AB$ và $AC$

Ta có $S_{ABD} = S_{ACD}$ (vì $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có cùng đường cao hạ từ $A$ và hai đáy $BD$ và $CD$ bằng nhau)
$\Rightarrow \frac{AB\cdot DE}{2} = \frac{AC\cdot DF}{2}$

$\Rightarrow AB\cdot DE = AC\cdot DF$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{DF}{DE}$

Ta lại có $\Delta KNA$ ~ $\Delta AED$ ($\widehat{KAN} = \widehat{ADE}$ vì cùng phụ với  $\widehat{EAD}$,  $\widehat{KNA} = \widehat{AED} (= 90^{\circ})$)

$\Rightarrow \frac{NA}{ED} = \frac{KA}{AD}$

$\Rightarrow AK = \frac{NA\cdot AD}{DE}$

Tương tự, $\Delta IMA$ ~ $\Delta AFD$

$\Rightarrow AI = \frac{AM\cdot AD}{DF}$

$\Rightarrow \frac{AK}{AI} = \frac{\frac{NA\cdot AD}{DE}}{\frac{AM\cdot AD}{DF}}=\frac{AN\cdot DF}{AM\cdot DE}=\frac{AN\cdot AB}{AM\cdot AC}$

Mà ta lại dễ thấy được $\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}$

$\Rightarrow \frac{AK}{AI}=\frac{AB\cdot AC}{AC\cdot AB}=1$

$\Rightarrow AK = AI$ (đpcm)







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hinhhoc, chungminh, duongcao

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh