Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

$\bigtriangleup ABC$ nhọn, đường cao $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $H$, $BD=CD=1/2 BC$. Đường thẳng $a$ qua $A$ vuông góc $AD$ cắt $BM$, &

hinhhoc chungminh duongcao

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 nguyetnguyet829

nguyetnguyet829

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Đã gửi 19-01-2023 - 21:08

Cho $\bigtriangleup ABC$ nhọn $(AC>AB)$, các đường cao $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $H$. Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Kẻ đường thẳng $a$ đi qua A vuông góc với $AD$ cắt $BM$ và $CN$ tại $I$ và $K$. Chứng minh $IA=AK$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 19-01-2023 - 21:55


#2 WannaBeMe

WannaBeMe

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 26-01-2023 - 22:09

Hình:
Screenshot_20230126_095559.png

Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $B$ và $C$ xuống $KI$

$\Rightarrow BE // CF // AD$ (cùng vuông góc với $KI$)

Ta có $BEFC$ là hình thang (do $BE // CF$), $D$ là trung điểm của $BC$, $AD // BE // CF$

$\Rightarrow A$ là trung điểm của $EF$, $AE = AF$

Ta lại có $\widehat{KEB} = \widehat{KNB} (= 90^{\circ})$, suy ra tứ giác $KENB$ nội tiếp

$\Rightarrow AE\cdot AK=AN\cdot AB (1)$ (bổ đề phương tích)

Chứng minh tương tự, ta sẽ có các tứ giác $BNMC$ và $CMFI$ nội tiếp, dẫn đến $AN\cdot AB=AM\cdot AC (2)$ và $AM\cdot AC=AF\cdot AI (3)$

Từ $(1), (2), (3)$, $\Rightarrow AE\cdot AK=AF\cdot AI$

Mà $AE = AF$ suy ra $AK = AI$ (đpcm)

 



#3 WannaBeMe

WannaBeMe

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 26-01-2023 - 22:48

Cách 2:

Hình:

Screenshot_20230126_101408.png

Gọi $E$, $F$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống $AB$ và $AC$

Ta có $S_{ABD} = S_{ACD}$ (vì $\Delta ABD$ và $\Delta ACD$ có cùng đường cao hạ từ $A$ và hai đáy $BD$ và $CD$ bằng nhau)
$\Rightarrow \frac{AB\cdot DE}{2} = \frac{AC\cdot DF}{2}$

$\Rightarrow AB\cdot DE = AC\cdot DF$

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{DF}{DE}$

Ta lại có $\Delta KNA$ ~ $\Delta AED$ ($\widehat{KAN} = \widehat{ADE}$ vì cùng phụ với  $\widehat{EAD}$,  $\widehat{KNA} = \widehat{AED} (= 90^{\circ})$)

$\Rightarrow \frac{NA}{ED} = \frac{KA}{AD}$

$\Rightarrow AK = \frac{NA\cdot AD}{DE}$

Tương tự, $\Delta IMA$ ~ $\Delta AFD$

$\Rightarrow AI = \frac{AM\cdot AD}{DF}$

$\Rightarrow \frac{AK}{AI} = \frac{\frac{NA\cdot AD}{DE}}{\frac{AM\cdot AD}{DF}}=\frac{AN\cdot DF}{AM\cdot DE}=\frac{AN\cdot AB}{AM\cdot AC}$

Mà ta lại dễ thấy được $\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}$

$\Rightarrow \frac{AK}{AI}=\frac{AB\cdot AC}{AC\cdot AB}=1$

$\Rightarrow AK = AI$ (đpcm)







2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh