Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

Bài giảng Grothendieck - lời tựa của Peter Scholze


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1618 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:l'Université de Rennes 1
  • Sở thích:Motivic integration, motivic stable homotopy theory, the theory of motives

Đã gửi 19-01-2023 - 23:04

Bài giảng Grothendieck

bởi Frédéric Jaëck và các tác giả khác.

Lời giới thiệu bởi Peter Scholze.

Làm thế nào để viết một lời giới thiệu cho một quyển sách về công trình và tầm ảnh hưởng của Grothendieck? Những ý tưởng của ông đã định hình cách suy nghĩ của tôi về toán học, và chắc chắn nó cũng đúng với các nhà toán học xung quanh tôi tới mức không thể hình dung được. (1)

(1): Có lần ai đó hỏi tôi rằng tôi có nghiên cứu các công trình của những con người kinh điển như Poincaré, Riemann, Siegel,... không, câu trả lời của tôi là "Với tôi, toán học bắt đầu với Grothendieck."

Nhưng tôi được sinh sau khi Grothendieck đã rời khỏi toán học từ lâu, và chẳng phải một nhà sử học hay đã đọc rất nhiều công trình gốc, tôi không thể nói chính xác Grothendieck đã đóng góp những gì.

Mặt khác, khi tôi nhận được yêu cầu tôi đã bắt đầu làm quen dần với lý thuyết không gian Banach cơ bản. Với tôi, thật ngạc nhiên khi thấy những đóng góp nổi bật của Grothendieck trong ngành này. Trước đó tôi đã mù mờ biết rằng Grothendieck làm gì đó với những công trình đầu tiên về không gian tô-pô véc-tơ, nhưng không biết những kết quả đó có ảnh hưởng thế nào. Điều này giống như một cuộc hội ngộ với một người bạn cũ sống ở một đất nước xa xôi - Này, dạo này anh đang làm gì? Thật tuyệt khi thấy anh lần nữa!

 

alexandre-grothendieck-le-genie-des-maths-qui-accoucha-de-l-ecologie.jpg

 

Nên tôi muốn nhân dịp này để làm nổi bật mối liên kết giữa các công trình ban đầu của Grothendieck và các công trình sau này của ông về topos, những thứ xuất hiện trong công trình của tôi. Một trong các ý tưởng rất sâu sắc của Grothendieck, và một trong những ý tưởng tinh tuý nhất theo ông nhận định, là khái niệm của một topos; nói cách tương đương, những phạm trù các bó trên một site. Rất nổi tiếng, cùng với Artin, ông định nghĩa site étale $X_{\text{ét}}$ của một lược đồ, và dùng lý thuyết đối đồng điều thu được $H^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z})$ để tấn công các giả thuyết Weil, mà cuối cùng là chứng minh của Deligne. Luôn luôn có một điểm kỹ thuật không ổn trong lý thuyết: người ta mong rằng đối đồng điều có thể lấy hệ số trong $\mathbb{Q}_l$ có đặc số $0$, nhưng đối đồng điều étale chỉ hoạt động tốt với hệ số xoắn, nên ta định nghĩa ad hoc

$$H^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Q}_l) = \underset{\longleftarrow}{\lim} \ H^i(X_{\text{ét}},\mathbb{Z}/l^n\mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}_l} \mathbb{Q}_l.$$

Trong thực hành, bất cứ kết quả nào về đối đồng điều l-adic cũng có thể chứng minh cho hệ số xoắn, và chuyển qua Q_l một cách hình thức bằng tensor. Đây vẫn là một phiền toái kỹ thuật nhưng thường bị bỏ qua.

Tuy nhiên, một số công trình tôi làm trong lý thuyết Hodge p-adic khiến tôi nghĩ rằng cần thiết phải cải thiện những nền tảng như vậy. Nói riêng, cùng với Bhatt, chúng tôi định nghĩa site hầu-étale $X_{\text{proét}}$ của một lược đồ. Với mọi vành, ví dụ $\mathbb{Q}_l$, ta có thể gán nó với một bó (của các vành trừu tượng) trên $X_{\text{proét}}$, mà ta vẫn kí hiệu là $\mathbb{Q}_l$. Với định nghĩa này,

$$H^i(X_{\text{proét}},\mathbb{Q}_l)$$ trùng với đối đồng điều l-adic đã định nghĩa bên trên, và vấn đề nền tảng đã biến mất.

Nhưng bây giờ vài thứ sâu sắc lại xuất hiện. Đó là khi $X$ chỉ là một điểm $\bullet$ (điểm hình học), các bó trên $\bullet_{\text{proét}}$ không tương đương với các tập hợp, giống như trong mọi hoàn cảnh thông thường khác. Thực tế, bất kỳ không gian tô-pô $T$ nào cũng xác định một bó trên $\bullet_{\text{proét}}$. Ở đây $\bullet_{\text{proét}}$ có thể định nghĩa như site của các tập hầu hữu hạn $S$, với các phủ là các họ hữu hạn các toàn ánh; và một không gian tô-pô $T$ được gửi tới bó mà gửi $S$ tới tập các ánh xạ liên tục từ $S$ vào $T$. Hàm tử thu được từ phạm trù các không gian tô-pô vào bó trên $\bullet_{\text{proét}}$ là trung thành, đầy đủ khi ta hạn chế xuống các không gian tô-pô sinh compact.

Tôi có xu hướng xem thuộc tính này của site hầu-étale - cái mà ta không thể hiểu các bó trên một điểm - là một căn bệnh. Clausen đã thuyết phục tôi rằng nó thực sự là một thuộc tính, và thực tế là người ta nên thay thế các không gian tô-pô bằng các bó trên $\bullet_{\text{proét}}$, và dùng điều này như một nền tảng mới cho tô-pô, nói riêng cũng như cho các không gian tô-pô véc-tơ, các không gian tô-pô vành,... Chúng tôi gọi đây là toán học đọng (condensed mathematics): một tập đọng là một bó trên $\bullet_{\text{proét}}$, cho ta các nhóm đọng, các bó đọng,...

Lưu ý rằng trong tô-pô đại số, đã từ lâu người ta biết rằng phạm trù các không gian tô-pô không thật sự tốt, nói riêng nó thiếu hàm tử Hom trong (internal hom). Điều này vẫn tới vô vàn "các phạm trù tô-pô ổn" như phạm trù các không gian Hausdorff yếu sinh compact, nhưng cũng những công trình của Johnstone trong việc tìm kiếm một phạm trù như thế mà làm thành một topos, và công trình của Spanier sử dụng định nghĩa rất gần với các tập đọng. Theo một nghĩa nào đó, các tập đọng cuối cùng là "phạm trù ổn của các không gian tô-pô", và bonus thêm là chúng còn tạo thành một topos.

Như một bài kiểm tra quan trọng xem toán học đọng có hoạt động tốt không, Clausen và tôi cố gắng hình dung xem liệu các $\mathbb{R}$-không gian véc-tơ đọng có thể dùng trong giải tích hàm không. Nói riêng, chúng tôi muốn tìm một phạm trù abelian đủ tốt, hoặc thậm trí một phạm trù dẫn xuất của các $\mathbb{R}$-không gian véc-tơ đọng "lồi địa phương hoàn toàn", được trang bị thêm một tích tensor. Khi viết những câu này - đây là một ví dụ chung chung về một câu mà tôi sẽ viết - tôi nhận ra rằng ảnh hưởng của Grothendieck đã tự hiển lộ nó ít nhất năm lần: "phạm trù abel" (trong bài báo Tohoku nổi tiếng của ông ấy), "phạm trù dẫn xuất" (trong công trình của ông cùng học trò Verdier), "tính lồi địa phương" (được nghiên cứu trong các công trình ban đầu); "đọng" (thông qua khái niệm topos và site hầu-étale), "tích tensor" (một trong các đóng góp chính của ông trong giải tích hàm).

Hoá ra với vài ngạc nhiên trên hành trình, nói riêng là làm yếu tính lồi địa phương thành $p$-lồi với $p<1$, người ta có thể định nghĩa một phạm trù abel như vậy. Điều này khá không tầm thường, vì các tập đọng định nghĩa dựa vào các tập hầu hữu hạn, trong khi các không gian Banach trên R dường như không có mấy liên hệ với tập hầu hữu hạn. Tuy nhiên, nó hoạt động, và cho ta một "phạm trù rất ổn của giải tích hàm". Do đó chúng tôi bị thuyết phục rằng trong những thập kỷ tới toán học đọng, dựa trên khái niệm topos, sẽ thay thế phần lớn toán học xây dựng từ các không gian tô-pô. Chẳng nghi ngờ gì khi những công trình của Grothendieck sẽ tiếp tục là nguồn cảm hứng cho rất nhiều thế hệ các nhà toán học tiếp theo, và những ý tưởng của ông sẽ còn thâm nhập sâu hơn nữa vào toàn bộ toán học.


Dịch: Phạm Khoa Bằng, Université de Rennes 1.
Nguồn: Lectures grothendieckiennes.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 19-01-2023 - 23:18

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh