Đến nội dung

Hình ảnh

Tính xác suất của biến cố A="Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác".

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Le Tuan Canhh

Le Tuan Canhh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 226 Bài viết
Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố A="Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác".

Dư :unsure: Hấu   


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

 

Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất của biến cố A="Số ghi trên 3 thẻ là số đo 3 cạnh của một tam giác".

 

Gọi số trên $3$ thẻ là $a,b,c$ ($a> b> c$)

$\mathbf{TH1}$ : $a=100$

+ Nếu $b=99$ : Có $97$ cách chọn $c$ ($c$ từ $2$ đến $98$)

+ Nếu $b=98$ : Có $95$ cách chọn $c$ ($c$ từ $3$ đến $97$)

+ Nếu $b=97$ : Có $93$ cách chọn $c$ ($c$ từ $4$ đến $96$)

............................................

............................................

+ Nếu $b=51$ : Có $1$ cách chọn $c$ ($c=50$)

$\Rightarrow$ TH 1 có $1+3+5+...+97=49^2$ cách.

$\mathbf{TH2}$ : $a=99$

+ Nếu $b=98$ : Có $96$ cách chọn $c$ ($c$ từ $2$ đến $97$)

+ Nếu $b=97$ : Có $94$ cách chọn $c$ ($c$ từ $3$ đến $96$)

+ Nếu $b=96$ : Có $92$ cách chọn $c$ ($c$ từ $4$ đến $95$)

............................................

............................................

+ Nếu $b=51$ : Có $2$ cách chọn $c$ ($c=49$ hoặc $c=50$)

$\Rightarrow$ TH 2 có $2+4+6+...+96=48.49$ cách.

...........................................................

...........................................................

$\mathbf{TH96}$ : $a=5\rightarrow$ có $1.2$ cách.

$\mathbf{TH97}$ : $a=4\rightarrow$ có $1^2$ cách.

Vậy $n(A)=(1^2+2^2+3^2+...+49^2)+(1.2+2.3+3.4+...+48.49)=\frac{49.50.99}{6}+\frac{48.49.50}{3}=79625$

Xác suất cần tính là $\frac{79625}{C_{100}^3}=\frac{65}{132}$.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 10-03-2023 - 09:32

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Thành quả sau khi lần mò cả buổi :P
Nếu thay số $100$ bằng $n$ thì số tam giác tạo được từ các thẻ đánh số $\{1,2,…,n\} $ “có thể” là:
\begin{equation}\label{eq1} S_n= \left\lfloor \dfrac{n(n-2)(2n-5)}{24}\right\rfloor \end{equation}
Bạn nào chứng minh \eqref{eq1} giúp với!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 26-03-2023 - 16:55


#4
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Thành quả sau khi lần mò cả buổi :P
Nếu thay số $100$ bằng $n$ thì số tam giác tạo được từ các thẻ đánh số $\{1,2,…,n\} $ “có thể” là:
\begin{equation*} S_n= \left\lfloor \dfrac{n(n-2)(2n-5)}{24}\right\rfloor \end{equation*}
Bạn nào chứng minh \eqref{eq1} giúp với!

Với $n=3$, ta có $S_3=\left \lfloor \frac{3.1.1}{24} \right \rfloor=0$ (đúng)
Giả sử \eqref{eq1} đúng với $n=k\geqslant 3$, tức là ta có $S_k=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)}{24} \right \rfloor$
$\Rightarrow S_{k+1}=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)}{24} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{k-1}{2} \right \rfloor\left \lfloor \frac{k}{2} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)}{24} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{6(k-1)^2}{24} \right \rfloor$
Nhận xét rằng nếu $k$ chẵn thì $k(k-2)(2k-5)$ chia $24$ dư $0$ và $6(k-1)^2$ chia $24$ dư $6$.
còn nếu $k$ lẻ thì $k(k-2)(2k-5)$ chia $24$ dư $3$ và $6(k-1)^2$ chia $24$ dư $0$.
$\Rightarrow k(k-2)(2k-5)+6(k-1)^2$ chia $24$ dư $3$ hoặc dư $6$
$\Rightarrow S_{k+1}=\left \lfloor \frac{k(k-2)(2k-5)+6(k-1)^2-3}{24} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{(k+1)(k-1)(2k-3)}{24} \right \rfloor$
Vậy \eqref{eq1} cũng đúng khi $n=k+1$
Theo nguyên lý quy nạp, \eqref{eq1} đúng với mọi $n\geqslant 3$.
——
Góp ý với bạn @chanhquocnghiem
Khi bạn tham chiếu đến phương trình thì dùng
\eqref{tên nhãn}
tên nhãn được đặt trong
\label{tên nhãn}
ở chính phương trình đó khi quote bạn sẽ thấy. Ngoài ra có thể tham chiếu đến các nhãn trong môi trường align bằng
\ref{tên nhãn}
hay môi trường định lý bằng
\thref{tên nhãn}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 27-03-2023 - 18:58
Tham chiếu!

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3916 Bài viết
Tuyệt vời ông mặt trời! @chanhquocnghiem
Nói thêm về cái vụ $S_n=S_{n-1}+\left\lfloor\frac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor$
Gọi các cạnh tạo thành tam giác là $a,b,c$ với $a<b<c$. Khi đó ngoài các tam giác của $S_{n-1}$ còn có các tam giác cạnh $c=n$
Suy ra: $a+b\ge n+1 \Rightarrow n+1-b\le a\le b-1$
$\Rightarrow n+1-b\le b-1\Rightarrow \left\lfloor\frac{n+2}{2}\right\rfloor\le b\le n-1$
Do đó phần “còn thiếu” là:
$\sum_{b= \left\lfloor\frac{n+2}{2}\right\rfloor}^{n-1}(2b-1-n)=\sum_{b=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \left(2b+2 \left\lfloor\frac{n}{2} \right\rfloor -1-n\right)$
$=\sum_{b=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor} \left(2b+ \left\lfloor\frac{n}{2} \right\rfloor -1-\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor \right)$
$= \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left(\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor -\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor \right)$
$= \left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor = \left\lfloor\frac{(n-2)^2}{4}\right\rfloor $
Từ đây ta suy được:
$S_n=\sum_{k=1}^{n-2} \left\lfloor\frac{k^2}{4}\right\rfloor $
Từ đây sau “một vài” phép thử ta tìm được \eqref{eq1}




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh