Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
- - - - -

$\sqrt{x+y}\left ( \sqrt{y} +1\right )=\sqrt{x^2+y^2}+2 ; x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 128 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Folotino

Đã gửi 21-01-2023 - 10:24

GIải hệ pt  

$\begin{cases} \sqrt{x+y}\left ( \sqrt{y} +1\right )=\sqrt{x^2+y^2}+2 \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} \end{cases}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 21-01-2023 - 10:27


#2 WannaBeMe

WannaBeMe

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 27-01-2023 - 09:57

ĐKXĐ $x\geq 1, y\geq 1$

 

Ta có:

$x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2}$

$\Leftrightarrow x\sqrt{4y-4}+y\sqrt{4x-4}=x^{2}+4y-4$

Lại có áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 2 số không âm:

$\Rightarrow x\sqrt{4y-4}\leq \frac{x^2+4y-4}{2}$ và $y\sqrt{4x-4}\leq \frac{y^2+4x-4}{2}$

$\Rightarrow VT \leq \frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-8}{2}$

$\Rightarrow x^{2}+4y-4\leq \frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-8}{2}$

$\Leftrightarrow 2x^2+8y-8-x^2-y^2-4x-4y+8\leq 0$

$\Leftrightarrow x^2-y^2-4x+4y\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\leq 0 \ (1)$

Mặt khác:

$\sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x+y}=\sqrt{x^2+y^2}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+xy} - \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x-y}-2=0$

$\Leftrightarrow \frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}=0$

Dễ thấy được nếu $\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}$ và $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}$ cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

Nếu $\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}$ và $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}$ trái dấu

$\Rightarrow \left (\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}\right )\left (\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}\right)\leq 0$

$\Leftrightarrow (xy-x^2)(x+y-4)\leq 0$

$\Leftrightarrow x(y-x)(x+y-4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (y-x)(x+y-4)\leq 0$ (vì $x\geq 1> 0$)

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\geq 0 \ (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)=0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x+y=4$

Trường hợp$x=y$, thay vào phương trình thứ hai được
$4x\sqrt{x-1}=x^{2}+4x-4$

$2x\sqrt{4x-4}=x^{2}+4x-4$

Ta lại có $VT = 2x\sqrt{4x-4}\leq x^2+4x-4=VP$ (bất đẳng thức $AM-GM$), để $VT = VP$ thì $x^2=4x-4 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2$(thỏa ĐKXĐ)
Trường hợp $x+y-4=0$, giải tương tự cũng ra được $x=2$, $y=2$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;2)$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh