Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{x+y}\left ( \sqrt{y} +1\right )=\sqrt{x^2+y^2}+2 ; x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2}$

- - - - -

Lời giải WannaBeMe, 27-01-2023 - 09:57

ĐKXĐ $x\geq 1, y\geq 1$

 

Ta có:

$x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2}$

$\Leftrightarrow x\sqrt{4y-4}+y\sqrt{4x-4}=x^{2}+4y-4$

Lại có áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 2 số không âm:

$\Rightarrow x\sqrt{4y-4}\leq \frac{x^2+4y-4}{2}$ và $y\sqrt{4x-4}\leq \frac{y^2+4x-4}{2}$

$\Rightarrow VT \leq \frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-8}{2}$

$\Rightarrow x^{2}+4y-4\leq \frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-8}{2}$

$\Leftrightarrow 2x^2+8y-8-x^2-y^2-4x-4y+8\leq 0$

$\Leftrightarrow x^2-y^2-4x+4y\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\leq 0 \ (1)$

Mặt khác:

$\sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x+y}=\sqrt{x^2+y^2}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+xy} - \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x-y}-2=0$

$\Leftrightarrow \frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}=0$

Dễ thấy được nếu $\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}$ và $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}$ cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

Nếu $\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}$ và $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}$ trái dấu

$\Rightarrow \left (\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}\right )\left (\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}\right)\leq 0$

$\Leftrightarrow (xy-x^2)(x+y-4)\leq 0$

$\Leftrightarrow x(y-x)(x+y-4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (y-x)(x+y-4)\leq 0$ (vì $x\geq 1> 0$)

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\geq 0 \ (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)=0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x+y=4$

Trường hợp$x=y$, thay vào phương trình thứ hai được
$4x\sqrt{x-1}=x^{2}+4x-4$

$2x\sqrt{4x-4}=x^{2}+4x-4$

Ta lại có $VT = 2x\sqrt{4x-4}\leq x^2+4x-4=VP$ (bất đẳng thức $AM-GM$), để $VT = VP$ thì $x^2=4x-4 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2$(thỏa ĐKXĐ)
Trường hợp $x+y-4=0$, giải tương tự cũng ra được $x=2$, $y=2$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;2)$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Sangnguyen3

Sangnguyen3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết

GIải hệ pt  

$\begin{cases} \sqrt{x+y}\left ( \sqrt{y} +1\right )=\sqrt{x^2+y^2}+2 \\ x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^2+4y-4}{2} \end{cases}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sangnguyen3: 21-01-2023 - 10:27


#2
WannaBeMe

WannaBeMe

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết
✓  Lời giải

ĐKXĐ $x\geq 1, y\geq 1$

 

Ta có:

$x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}=\frac{x^{2}+4y-4}{2}$

$\Leftrightarrow x\sqrt{4y-4}+y\sqrt{4x-4}=x^{2}+4y-4$

Lại có áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ cho 2 số không âm:

$\Rightarrow x\sqrt{4y-4}\leq \frac{x^2+4y-4}{2}$ và $y\sqrt{4x-4}\leq \frac{y^2+4x-4}{2}$

$\Rightarrow VT \leq \frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-8}{2}$

$\Rightarrow x^{2}+4y-4\leq \frac{x^{2}+y^{2}+4x+4y-8}{2}$

$\Leftrightarrow 2x^2+8y-8-x^2-y^2-4x-4y+8\leq 0$

$\Leftrightarrow x^2-y^2-4x+4y\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\leq 0 \ (1)$

Mặt khác:

$\sqrt{x+y}(\sqrt{y}+1)=\sqrt{x^2+y^2}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x+y}=\sqrt{x^2+y^2}+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{y^2+xy} - \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x-y}-2=0$

$\Leftrightarrow \frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}=0$

Dễ thấy được nếu $\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}$ và $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}$ cùng dấu thì phương trình vô nghiệm

Nếu $\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}$ và $\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}$ trái dấu

$\Rightarrow \left (\frac{xy-x^2}{\sqrt{y^2+xy}+\sqrt{x^2+y^2}}\right )\left (\frac{x+y-4}{\sqrt{x+y}+2}\right)\leq 0$

$\Leftrightarrow (xy-x^2)(x+y-4)\leq 0$

$\Leftrightarrow x(y-x)(x+y-4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (y-x)(x+y-4)\leq 0$ (vì $x\geq 1> 0$)

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)\geq 0 \ (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$

$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-4)=0$

$\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x+y=4$

Trường hợp$x=y$, thay vào phương trình thứ hai được
$4x\sqrt{x-1}=x^{2}+4x-4$

$2x\sqrt{4x-4}=x^{2}+4x-4$

Ta lại có $VT = 2x\sqrt{4x-4}\leq x^2+4x-4=VP$ (bất đẳng thức $AM-GM$), để $VT = VP$ thì $x^2=4x-4 \Leftrightarrow x = 2 \Rightarrow y = 2$(thỏa ĐKXĐ)
Trường hợp $x+y-4=0$, giải tương tự cũng ra được $x=2$, $y=2$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;2)$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh