Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh

Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$ với $q\in(0,1)$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 123abcd

123abcd

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 22-01-2023 - 23:07

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123abcd: 22-01-2023 - 23:09


#2 nguyenhien1212

nguyenhien1212

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 23-01-2023 - 10:44

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

$q^n.n=\dfrac{n}{k^n}$ ($k>1$)

Áp dụng Lhopital: $\lim \dfrac{n}{k^n}=\lim \dfrac{1}{n.k^{n-1}}=0$



#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4630 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 23-01-2023 - 15:32

Nếu không muốn dùng l'Hôpital thì có thể chứng minh là tồn tại $N > 0$ sao cho $k^{n} \ge n^2 \forall n\ge N$ rồi từ đó dùng nguyên lý kẹp: \[0 < \frac{n}{{{k^n}}} \leqslant \frac{1}{n} \to 0\]

 

Mạnh hơn là \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^m}}}{{{p^n}}} = 0\]

Nói nôm là hàm "tăng tốc" nhanh hơn hàm lũy thừa.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 24-01-2023 - 21:46

Bài này làm thế này nè:

 

 

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

 

Trước hết, ta có bổ đề: $\lim_{n \to + \infty } \sqrt[n] n=1 $ $  (*)$

 

Chứng minh bổ đề này bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n$ số gồm 1 số $n$ và $n-1$ số $1$. Sau đó áp dụng dụng định lý giới hạn kẹp với chú ý: $ 1 < \sqrt[n] n$ .

 

Bây giờ, Đặt $f(n) = q^n \cdot n$

 

$ \ln f(n) = n \cdot \ln q + \ln n = - n \cdot \ln \frac{1}{q} + \ln ( \sqrt[n] n )^n  = n \ln \sqrt[n] n -  n \cdot \ln \frac{1}{q}  = n \cdot \ln \frac{ \sqrt[n] n}{\frac{1}{q}}  = n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$

 

Dễ thấy khi $n$ tiến dần ra vô cùng thì:  $q\cdot \sqrt[n] n$ tiến dần đến giá trị $ q$ là hằng số dương nhỏ hơn $1$ (Do $(*)$) , Suy ra  $\ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến giá trị hằng số $ \ln q$  là số âm, Suy ra $  n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến $ - \infty$

 

Suy ra $\lim_{n \to + \infty } \ln f(n) = - \infty$

 

Suy ra:  $\lim_{n \to + \infty} n \cdot q^n = \lim_{n \to + \infty} f(n) = \lim_{n \to + \infty } e^{\ln f(n)} = 0$

 

Và từ đây ta có điều phải chứng minh


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 25-01-2023 - 16:18

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh