Chủ đề này có 3 trả lời

[123abcd]

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123abcd: 22-01-2023 - 23:09

[nguyenhien1212]

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

$q^n.n=\dfrac{n}{k^n}$ ($k>1$)

Áp dụng Lhopital: $\lim \dfrac{n}{k^n}=\lim \dfrac{1}{n.k^{n-1}}=0$

[perfectstrong]

Nếu không muốn dùng l'Hôpital thì có thể chứng minh là tồn tại $N > 0$ sao cho $k^{n} \ge n^2 \forall n\ge N$ rồi từ đó dùng nguyên lý kẹp: \[0 < \frac{n}{{{k^n}}} \leqslant \frac{1}{n} \to 0\]

 

Mạnh hơn là \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^m}}}{{{p^n}}} = 0\]

Nói nôm là hàm mũ "tăng tốc" nhanh hơn hàm lũy thừa.

[supermember]

Bài này làm thế này nè:

 

 

Cho $q\in(0,1)$. Chứng minh $\underset{n\rightarrow +\infty}{lim}(q^n.n)=0$

 

Trước hết, ta có bổ đề: $\lim_{n \to + \infty } \sqrt[n] n=1 $ $  (*)$

 

Chứng minh bổ đề này bằng cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho $n$ số gồm 1 số $n$ và $n-1$ số $1$. Sau đó áp dụng dụng định lý giới hạn kẹp với chú ý: $ 1 < \sqrt[n] n$ .

 

Bây giờ, Đặt $f(n) = q^n \cdot n$

 

$ \ln f(n) = n \cdot \ln q + \ln n = - n \cdot \ln \frac{1}{q} + \ln ( \sqrt[n] n )^n  = n \ln \sqrt[n] n -  n \cdot \ln \frac{1}{q}  = n \cdot \ln \frac{ \sqrt[n] n}{\frac{1}{q}}  = n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$

 

Dễ thấy khi $n$ tiến dần ra vô cùng thì:  $q\cdot \sqrt[n] n$ tiến dần đến giá trị $ q$ là hằng số dương nhỏ hơn $1$ (Do $(*)$) , Suy ra  $\ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến giá trị hằng số $ \ln q$  là số âm, Suy ra $  n \cdot \ln (q\cdot \sqrt[n] n)$ tiến dần đến $ - \infty$

 

Suy ra $\lim_{n \to + \infty } \ln f(n) = - \infty$

 

Suy ra:  $\lim_{n \to + \infty} n \cdot q^n = \lim_{n \to + \infty} f(n) = \lim_{n \to + \infty } e^{\ln f(n)} = 0$

 

Và từ đây ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 25-01-2023 - 16:18