Cho hàm số f(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên x. Hỏi phương trình $x^3-xf(x)-3x+2f(x)+1=0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
#1
Đã gửi 26-01-2023 - 10:38
cool hunter
-
- Thành viên
-
- 544 Bài viết
Thiếu úy
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#2
Đã gửi 27-01-2023 - 15:23
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 4996 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Cho hàm số f(x) nhận giá trị nguyên với mọi giá trị nguyên x. Hỏi phương trình $x^3-xf(x)-3x+2f(x)+1=0$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Giả sử phương trình có nghiệm $x$ nguyên nào đó. Ta có:
\[\begin{gathered}
{x^3} - xf\left( x \right) - 3x + 2f\left( x \right) + 1 = 0 \hfill \\
\Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)f\left( x \right) = - {x^3} + 3x - 1 \quad \left( 1 \right) \hfill \\
\end{gathered} \]
Dễ thấy $x=2$ không thỏa đẳng thức, do đó $x \ne 2$. Vì thế:
\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{ - {x^3} + 3x - 1}}{{2 - x}} = {x^2} + 2x + 1 + \frac{3}{{x - 2}}\]
Vì $f(x) \in \mathbb Z$ nên $x-2 | 3 \Rightarrow x - 2 \in \{\pm 3; \pm 1\} \Rightarrow x \in \{-1;1;3;5\}$.
Vậy phương trình đã cho có tối đa 4 nghiệm nguyên.
- cool hunter và vkhoa thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
