Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện $b=\frac{6a^{^{2}}}{a^{^{2}}+1};c=\frac{2b^{2}}{b^{2}+9};a=\frac{2c^{2}}{c^{2}+1}$. Tính giá trị của biểu thức P = a+b+c.
$b=\frac{6a^{^{2}}}{a^{^{2}}+1};c=\frac{2b^{2}}{b^{2}+9};a=\frac{2c^{2}}{c^{2}+1}$. Tính $P = a+b+c$
#1
Đã gửi 27-01-2023 - 21:43
#2
Đã gửi 27-01-2023 - 23:30
Nếu $a=0\Rightarrow b=c=0$ thì ta có: P=0.
Trường hợp $a\neq 0$ thì $a,b,c$ là các số thực dương.
Ta có:
$b=\frac{6a^2}{a^2+1} \leq \frac{6a^2}{2a} = 3a$.
$c=\frac{2b^2}{b^2+9} \leq \frac{2b^2}{6b} = \frac{b}{3}$.
$a=\frac{2c^2}{c^2+1} \leq \frac{2c^2}{2c} = c$.
Kết hợp ba bất đẳng thức trên, suy ra: $b \leq 3a \leq 3c \leq 3\frac{b}{3} = b$.
Vì dấu bằng xảy ra nên $\begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=1 \end{cases}$(ĐK để đẳng thức xảy ra trong BĐT AM-GM)
Thử lại thấy thỏa mãn, nên thế vào ta có: $P=a+b+c=1+3+1=5$.
Kết luận, $P=0$ hoặc $P=5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Moon Loves Math: 28-01-2023 - 07:20
- perfectstrong và ThienDuc1101 thích
#3
Đã gửi 28-01-2023 - 00:02
Đầu tiên, nhận xét: $a,b,c$ là các số thực dương.
Ta có:
$b=\frac{6a^2}{a^2+1} \leq \frac{6a^2}{2a} = 3a$.
$c=\frac{2b^2}{b^2+9} \leq \frac{2b^2}{6b} = \frac{b}{3}$.
$a=\frac{2c^2}{c^2+1} \leq \frac{2c^2}{2c} = c$.
Kết hợp ba bất đẳng thức trên, suy ra: $b \leq 3a \leq 3c \leq 3\frac{b}{3} = b$.
Vì dấu bằng xảy ra nên $\begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=1 \end{cases}$(ĐK để đẳng thức xảy ra trong BĐT AM-GM)
Thử lại thấy thỏa mãn, nên thế vào ta có: $P=a+b+c=1+3+1=5$.
Còn TH $a=b=c=0$ nữa anh ơi.
- Moon Loves Math yêu thích
#4
Đã gửi 28-01-2023 - 07:21
Còn TH $a=b=c=0$ nữa anh ơi.
À ừ nhỉ, cảm ơn bạn đã nhắc, mình đã sửa lại rồi.
- ThienDuc1101 yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh