Đến nội dung

Hình ảnh

$b=\frac{6a^{^{2}}}{a^{^{2}}+1};c=\frac{2b^{2}}{b^{2}+9};a=\frac{2c^{2}}{c^{2}+1}$. Tính $P = a+b+c$

- - - - - #toanlop9

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
DuongAnh140708

DuongAnh140708

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện $b=\frac{6a^{^{2}}}{a^{^{2}}+1};c=\frac{2b^{2}}{b^{2}+9};a=\frac{2c^{2}}{c^{2}+1}$. Tính giá trị của biểu thức P = a+b+c.



#2
Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Nếu $a=0\Rightarrow b=c=0$ thì ta có: P=0.

Trường hợp $a\neq 0$ thì $a,b,c$ là các số thực dương.

Ta có:

$b=\frac{6a^2}{a^2+1} \leq \frac{6a^2}{2a} = 3a$.

$c=\frac{2b^2}{b^2+9} \leq \frac{2b^2}{6b} = \frac{b}{3}$.

$a=\frac{2c^2}{c^2+1} \leq \frac{2c^2}{2c} = c$.

Kết hợp ba bất đẳng thức trên, suy ra: $b \leq 3a \leq 3c \leq 3\frac{b}{3} = b$.

Vì dấu bằng xảy ra nên $\begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=1 \end{cases}$(ĐK để đẳng thức xảy ra trong BĐT AM-GM)

Thử lại thấy thỏa mãn, nên thế vào ta có: $P=a+b+c=1+3+1=5$.

Kết luận, $P=0$ hoặc $P=5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Moon Loves Math: 28-01-2023 - 07:20


#3
ThienDuc1101

ThienDuc1101

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Đầu tiên, nhận xét: $a,b,c$ là các số thực dương.

Ta có:

$b=\frac{6a^2}{a^2+1} \leq \frac{6a^2}{2a} = 3a$.

$c=\frac{2b^2}{b^2+9} \leq \frac{2b^2}{6b} = \frac{b}{3}$.

$a=\frac{2c^2}{c^2+1} \leq \frac{2c^2}{2c} = c$.

Kết hợp ba bất đẳng thức trên, suy ra: $b \leq 3a \leq 3c \leq 3\frac{b}{3} = b$.

Vì dấu bằng xảy ra nên $\begin{cases} a=1 \\ b=3 \\ c=1 \end{cases}$(ĐK để đẳng thức xảy ra trong BĐT AM-GM)

Thử lại thấy thỏa mãn, nên thế vào ta có: $P=a+b+c=1+3+1=5$.

Còn TH $a=b=c=0$ nữa anh ơi.



#4
Moon Loves Math

Moon Loves Math

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 42 Bài viết

Còn TH $a=b=c=0$ nữa anh ơi.

À ừ nhỉ, cảm ơn bạn đã nhắc, mình đã sửa lại rồi.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh