Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho $(a^{3}+b)(a+b^{3})$ là một lũy thừa của 3

[Hoang72]

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b$.

$\bullet$ $a=b$: Khi đó $a^3 + a$ là một luỹ thừa của $3$

$\Rightarrow a\mid a^2+1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1$. (loại)

$\bullet$ $a<b$: Tồn tại $x,y\in\mathbb N^*; x < y$ mà: $\begin{cases} a^3 + b = 3^x \\ a+b^3 = 3^y\end{cases}$.

Ta có $3^x(3^{y-x} - 1) = 3^y - 3^x = (b-a)(b^2 + ba + a^2 - 1)$.

Nhận thấy nếu $a,b$ cùng chia hết cho $3$ thì phải có $3v_3(a) = v_3(b) $ và $3v_3(b) = v_3(a)$, vô lí.

Do đó $3\nmid a,b$, suy ra $(a,b) = 1$.

Có $a^3+b\mid b^3 + a $ và $a^3 + b\mid a^9 + b^3\Rightarrow 3^x = a^3 + b\mid a^9 - a$

$\Rightarrow 3^x\mid a^8 - 1$

$\Rightarrow a^3 + b\mid a^2 - 1$ (Do $3\nmid a^2 + 1$ và $3\nmid a^4 + 1$)

$\Rightarrow a = 1$.

Từ đây ta có $(b+1)(b^2-b+1) = 3^x$, suy ra $b+1\mid b^2-b+1\Rightarrow b = 2$.

Vậy $(a,b) \in \{(1,2), (2,1)\}$.