Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho $(a^{3}+b)(a+b^{3})$ là một lũy thừa của 3
Tìm a,b nguyên dương để $(a^{3}+b)(a+b^{3})$ là một lũy thừa của 3
#1
Đã gửi 27-01-2023 - 22:40
#2
Đã gửi 30-01-2023 - 10:37
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\leq b$.
$\bullet$ $a=b$: Khi đó $a^3 + a$ là một luỹ thừa của $3$
$\Rightarrow a\mid a^2+1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1$. (loại)
$\bullet$ $a<b$: Tồn tại $x,y\in\mathbb N^*; x < y$ mà: $\begin{cases} a^3 + b = 3^x \\ a+b^3 = 3^y\end{cases}$.
Ta có $3^x(3^{y-x} - 1) = 3^y - 3^x = (b-a)(b^2 + ba + a^2 - 1)$.
Nhận thấy nếu $a,b$ cùng chia hết cho $3$ thì phải có $3v_3(a) = v_3(b) $ và $3v_3(b) = v_3(a)$, vô lí.
Do đó $3\nmid a,b$, suy ra $(a,b) = 1$.
Có $a^3+b\mid b^3 + a $ và $a^3 + b\mid a^9 + b^3\Rightarrow 3^x = a^3 + b\mid a^9 - a$
$\Rightarrow 3^x\mid a^8 - 1$
$\Rightarrow a^3 + b\mid a^2 - 1$ (Do $3\nmid a^2 + 1$ và $3\nmid a^4 + 1$)
$\Rightarrow a = 1$.
Từ đây ta có $(b+1)(b^2-b+1) = 3^x$, suy ra $b+1\mid b^2-b+1\Rightarrow b = 2$.
Vậy $(a,b) \in \{(1,2), (2,1)\}$.
- Explorer và Sangnguyen3 thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nguyên dương, số học, số mũ đúng, lte, lũy thừa
|
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Chứng minh rằng $(a_{1}^{2}+1)(a_{2}^{2}+1)...(a_{2024}^{2}+1)$ không chia hết cho $(a_{1}.a_{2}...a_{2024})^2$Bắt đầu bởi Nguyentrongkhoi, 26-03-2024 số học |
|
||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
Chứng minh rằng $x^2 + y^2 + z^2 - 2(xy + yz + zx)$ là số chính phươngBắt đầu bởi Chuongn1312, 13-03-2024 toán olympic, số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$\sum_{n\vdots d,d=2k+1}\varphi (d)2^{\frac{n}{d}} \hspace{0.2cm} \vdots \hspace{0.2cm} n$Bắt đầu bởi hovutenha, 08-03-2024 tổ hợp, số học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$f(a)-f(b) \vdots a-b$Bắt đầu bởi Sa is very stupid and lazy, 17-01-2024 số học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
$x^n+n \vdots p^m$Bắt đầu bởi trinhgiahuy2008, 15-01-2024 số học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh