Đến nội dung

Hình ảnh

$$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb{R}$$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
alexander123

alexander123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Chúc diễn đàn năm mới an khang, thịnh vượng và tất cả thành viên đạt được mục tiêu mình mong muốn trong năm $2023$ tới

 

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $$2P(x)^2+2P(x^2)=P(2x)^2,\forall x \in \mathbb{R}$$



#2
alexander123

alexander123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Giả sử $\text{deg P }=n\geq 2$ và đặt $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$$ trong đó $a_i \in \mathbb{R}, \forall i = \overline{0,n},a_n\neq 0$

 

Trước hết so sánh hệ số của $x^{2n}$, ta được $(a_n.2^n)^2=2a_n^2+2a_n\Rightarrow a_n=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

Ta sẽ chứng minh $a_{n-i}=0,\forall i=\overline{1,n}$ bằng quy nạp

Thật vậy với $i=1$ thì ta so sánh hệ số của $x^{2n-1}$ thì thu được $$2a_na_{n-1}=2a_na_{n-1}.2^n.2^{n-1}\Rightarrow a_{n-1}=0$$

Giả sử khẳng định đúng với mọi $1\leq i\leq k$, ta sẽ chỉ ra $a_{n-k-1}=0$

Trường hợp $1$: $k$ chẵn khi đó ta sẽ so sánh hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong hai vế, dễ thấy $2P(x^2)$ chỉ chứa toàn đơn thức mũ chẵn mà $2n-k-1$ lẻ nên ta chỉ quan tâm đến hệ số trong hai đa thức $2P(x)^2$ và $P(2x)^2$

Rõ ràng trong khai triển của $2P(x)^2$ và $P(2x)^2$ thì số mũ của hạng tử $x^{2n-k-1}$ sẽ được xác định bởi $0\leq p,q\leq n$ thỏa mãn $p+q=2n-k-1$

Nếu có ít nhất một trong hai số $p,q\geq n-k$ thì một trong hai hệ số $a_p,a_q$ tương ứng sẽ bằng $0$ theo giả thiết quy nạp, do đó hệ số $a_pa_q$ của $x^{p+q}$ sẽ bằng $0$, do vậy ta có ngay điều phải chứng minh

Như vậy ta chỉ cần xét trường hợp có một số bằng $n$ và số còn lại bằng $n-k-1$ (bởi vì nếu cả hai số đều không vượt quá $n-k-1$ thì vô lí)

Do đó ta xác định được hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong $2P(x)^2$ là $4a_na_{n-k-1}$. Tương tự thì hệ số của $x^{2n-k-1}$ trong $P(2x)^2$ là $2.2^{n}.a_n.2^{n-k-1}a_{n-k-1}=2^{2n-k}a_na_{n-k-1}$ nên so sánh hệ số ta được $a_{n-k-1}=0$

 

Trường hợp $k$ lẻ mình không biết phải làm sao  :(



#3
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

chuyển vế và đặt P(x)=Q(x)+a0 rồi xét đến bậc nhỏ nhất của đa thức.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 28-01-2023 - 22:05


#4
alexander123

alexander123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

Rõ đi bạn



#5
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

nếu P là hằng số thì P=0 hoặc P=-2

chuyển vế xong thì có nhận xét là a0^2+2a0=0 suy ra a0 =0 hoặc a0 = -2

nếu a0=-2 thì đặt P(x)=Q(x)+a0

thế vào rồi phá bình phương thì ta có: 2Q(x^2)+2Q(x)^2+4a0Q(x)-Q(2x)=0

để ý ở biểu thức trên ko có hệ số tự do nên KMTTQ giả sử bậc nhỏ nhất của Q là 1 thì ta sẽ chia x cho cả 2 vế (đoạn này có thể giả sử là bậc nhỏ nhất là "i")

thì ta sẽ có 4a0a1=0 suy ra a1=0 do a0 khác 0, khi a1=0 thay vào ta thấy Q có bậc nhỏ nhất là 2 rồi lại chia cho x^2.... làm tương tự ta sẽ có an =0 suy ra P(x)=a0=-1/2

nếu a0=0 thì P(x)=Q(x) rồi ta lại chia 2 vế cho x^2(chỗ này thực ra là chia để làm sao cho hết x thôi) rồi ta sẽ lại dc a1^2-a1=0 và a1 khác 0 nên a1=1. bài toán trở lại gần giống bên trên do đó ta có nghiệm: P(x) =0, P(x)=-2, P(x)= x. thử lại ....


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 28-01-2023 - 22:58


#6
alexander123

alexander123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

$P(x)=\frac{x^n}{2^{2n-1}-1}$ với mọi số nguyên $n>1$ vẫn đúng



#7
alexander123

alexander123

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết

$P(x)=x-2$ nữa



#8
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn



#9
hovutenha

hovutenha

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Nếu $P(x)\equiv c\Rightarrow c=0, c=-2$

Xét $P(x)\not\equiv c$

Xét phân tích tiêu chuẩn của $P(x)$:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$

Ta sẽ so sánh hệ số bậc cao nhất: $x^{2n}$

ta có: 

$2P(x)^{2}=2a_{n}x^{2n}+...$

$2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+...$

$P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+...$

Cân bằng hệ số:$\Rightarrow a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}$

ta sẽ so sánh hệ số bậc cao thứ 2: $x^{2n-1}$

$\left\{\begin{matrix} 2P(x)^{2}=2a_{n}^{2}x^{2n}+2a_{n}a_{n-1}x^{2n-1}+... & & \\ P(2x)^{2}=2^{2n}a_{n}^{2}x^{2n}+2^{2n-1}a_{n}a_{n-1}x^{2n-1} & & \\ 2P(x^{2})=2a_{n}x^{2n}+2a_{n-1}x^{2n-2} & & \end{matrix}\right.$

Đồng nhất hệ số bậc cao thứ 2 và vì $a_{n}\neq 0$ ta có:

$\left\{\begin{matrix} a_{n-1}=0 & \\ 2=2^{2n-1}\Rightarrow n=1 & \end{matrix}\right.$

Lập luận tương tự với $a_{n-2}, a_{n-3}$ ta thấy có 2 trường hợp $a_{n}=\frac{1}{2^{2n-1}-1}, a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_{1}=0$ và n=1

tự giải 2 trường hợp này ta thấy các nghiệm thỏa mãn

Với trường hợp a(n-2) thì hơi khác một chút:

bạn cũng phân tích từng cái ra rồi ta sẽ có:

$2a_{n}a_{n-2}=2^{2n-2}a_{n}a_{n-2}$

để ý khi ta xét đến a(n-1) thì degP lớn hơn hoặc bằng 2=>n lớn hơn hoặc bằng 2

thay vào bên trên ta có ngay a(n-2)=0

trường hợp a(n-3) n-4 .... ta làm tương tự


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 31-01-2023 - 21:00





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh