Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $(a^{3}-b^{3},ab)=1$ với (x,y) là ước chung lớn nhất của x và y.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Duc91

Duc91

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Chứng minh rằng: $(a^{3}-b^{3},ab)=1$ với (x,y) là ước chung lớn nhất của x và y.



#2
WannaBeMe

WannaBeMe

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

$a$ và $b$ có nguyên tố cùng nhau không bạn? Nếu không thì ví dụ như $a = 4$, $b=2$ thì $(a^3-b^3, ab) = 8$ mà.

 

Nếu $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau, tức $(a, b) = 1$

Gọi $d = (a^3-b^3, ab)$
$\Rightarrow a^3-b^3\vdots d$ và $ab\vdots d$
$\Rightarrow (a-b)^3+3ab(a-b)\vdots d$ và $ab\vdots d$
Ta có $ab\vdots d \Rightarrow 3ab(a-b)\vdots d$ 

$\Rightarrow (a-b)^3 \vdots d$

Giả sử $d$ có ước nguyên tố $p$

Ta có $ab\vdots d \Rightarrow ab\vdots p \Rightarrow a \vdots p$ hoặc $b \vdots p$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \vdots p$

Lại có $(a-b)^3 \vdots d  \Rightarrow (a-b)^3\vdots p  \Rightarrow a-b\vdots p$

Mà $a \vdots p  \Rightarrow b\vdots p$
$\Rightarrow (a, b) \geq p > 1$ (trái với $(a, b) = 1$)
Vậy điều giả sử là sai, suy ra $d$ không có ước nguyên tố $p$
$\Rightarrow d = 1$
$\Rightarrow (a^3-b^3, ab) = 1$ (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WannaBeMe: 29-01-2023 - 21:07


#3
Duc91

Duc91

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

a và b có nguyên tố cùng nhau nhé bạn. Minh viết thiếu đề.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh