Đến nội dung

Hình ảnh

Giới thiệu phạm trù mô hình và lý thuyết đồng luân

đồng luân đại số đồng điều tô-pô đại số lý thuyết phạm trù

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nmlinh16

nmlinh16

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

Khái niệm phạm trù mô hình (model category) được đưa ra bởi Quillen năm 1967, trong nỗ lực tổng quát hóa đại số đồng điều thành lý thuyết đồng luân cho các đối tượng không abel như không gian tô pô, nhóm, đại số trên một vành... Ngôn ngữ phạm trù mô hình và khái niệm đồng luân tổng quát là một phần quan trọng trong K-lý thuyết đại số cũng như hình học đại số.

 

Một phần của lý thuyết phạm trù mô hình và đồng luân là lý thuyết đồng luân đơn hình đã được viết ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình.

 

Chúng ta sẽ trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết này.

 

 

1. Ví dụ: Không gian tô pô và phức dây chuyền

 

Xét phạm trù $\mathbf{Top}$ các không gian tô pô.

Nhắc lại rằng hai ánh xạ liên tục $f, g: X \to Y$ được gọi là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục $H: X \times [0,1] \to Y$ sao cho $H(-,0) = f$ và $H(-,1) = g$ (một phép đồng luân giữa $f$ và $g$). Khi đó, ta ký hiệu $f \simeq g$.

Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục $f: X \leftrightarrows Y: g$ sao cho $fg \simeq 1_Y$ và $gf \simeq 1_X$. Khi đó, ta ký hiệu $X \simeq Y$.

 

Nếu $(X,x)$ và $(Y,y)$ là các không gian định điểm, ta ký hiệu hởi $[(X,x), (Y,y)]$ thương của tập hợp các ánh xạ định điểm $(X,x) \to (Y,y)$ bởi quan hệ đồng luân định điểm (một phép đồng luân định điểm $H$ giữa hai ánh xạ định điểm là một phép đồng luân sao cho $H(-,t)$ là ánh xạ định điểm với mọi $t \in [0,1]$). Với $n \ge 0$, Ký hiệu bởi $\pi_n(X,x) = [(\mathbb{S}^n,\ast),(X,x)]$. Ta có các hàm tử $\pi_n: \mathbf{Top}_\ast \to \mathbf{Set}$, hơn nữa $\pi_1$ là nhóm và $\pi_n$ là nhóm abel với $n \ge 2$. 

 

Mệnh đề 1.1. Nếu $f: X \to Y$ là một tương đương đồng luân thì $\pi_0(f): \pi_0(X,x) \to \pi_0(Y,f(x))$ là một song ánh, và với mọi $x \in X$ cũng như $n \ge 1$ thì $\pi_n(f): \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,f(x))$ là một đẳng cấu nhóm.

 

Định nghĩa. Một tương đương đồng luân yếu là một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ sao cho các ánh xạ cảm sinh $\pi_n(f)$ thỏa mãn các điều kiện ở mệnh đề trên. Ta ký hiệu tương đương đồng luân yếu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương yếu nếu tồn tại các tương đương đồng luân yếu $$X \tilde{\leftarrow} X_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} X_n \tilde{\rightarrow} Y.$$

 

Hiển nhiên, hai không gian tương đương yếu thì các nhóm đồng luân tương ứng đẳng cấu.

 

Trong các không gian tô pô, các CW-phức (hoặc các phức đơn hình...) đóng vai trò như những mô hình tổ hợp để tính toán các nhóm đồng luân. Thực tế, ta chỉ cần quan tâm đến lý thuyết đồng luân của chúng, nhờ vào các định lý sau đây.

 

Định lý 1.2. Với mỗi không gian tô pô $X$, tồn tại một CW-phức $Z$ và một tương đương đồng luân yếu $Z \to \tilde{\rightarrow} X$.

 

Định lý 1.3 (Xấp xỉ CW). Mỗi ánh xạ liên tục giữa hai CW-phức đều đồng luân với một ánh xạ phân phân ngăn.

 

Hơn nữa, để nói về tương đương đồng luân giữa các CW-phức, ta chỉ cần quan tâm đến tương đương yếu, nhờ

 

Định lý 1.4 (Whitehead). Mỗi tương đương đồng luân yếu giữa hai CW-phức là một tương đương đồng luân.

 

Mục đích của khái niệm phạm trù mô hình là cho phép, trong một phạm trù bất kỳ, nói về:

  • thế nào là "giống nhau sai khác đồng luân" (tương đương đồng luân) giữa hai vật;
  • thế nào là một phép đồng luân, một tương đương đồng luân;
  • những vật nào là đủ "tốt" (những "mô hình") mà trên đó ta chỉ cần quan tâm đến các tương đương đồng luân yếu.

Một phạm trù khác nơi ta có thể làm lý thuyết đồng luân là phạm trù các phức dây chuyền (đồng luân ở đây được biến đến dưới dạng đại số đồng điều). Cho $R$ là một vành. Xét phạm trù $\mathbf{Ch}_{\ge 0}(R)$ các phức dây chuyền (chiều của vi phân là chiều giảm) các $R$-môđun tập trung ở bậc không âm.

Một phép đồng luân dây chuyền giữa hai ánh xạ dây chuyền $f, g: A \to B$ là một dãy các đồng cấu $h: A_n \to B_{n+1}$ sao cho $f - g = hd + dh$. Khi $h$ tồn tại, ta nói $f$ và $g$ đồng luân và ký hiệu $f \simeq g$.

Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ dây chuyền $f: A \leftrightarrows B: g$ sao cho $fg \simeq 1_B$ và $gf \simeq 1_A$. Khi đó, ta ký hiệu $A \simeq B$.

 

Mệnh đề 1.5. Nếu $f: A \to B$ là một tương đương đồng luân thì nó cảm sinh đẳng cấu $H_n(f): H_n(A) \to H_n(B)$ với mỗi $n \ge 0$.

 

Định nghĩa. Một tựa đẳng cấu là một ánh xạ dây chuyền $f: A \to B$ sao cho $H_n(f)$ là một đẳng cấu với mỗi $n \ge 0$. Ta ký hiệu tựa đẳng cấu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu tồn tại các tựa đẳng cấu $$A \tilde{\leftarrow} A_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} A_n \tilde{\rightarrow} B.$$

 

Hiển nhiên, hai phức tựa đẳng cấu thì các nhóm đồng điều tương ứng đẳng cấu.

 

Nhắc lại rằng một $R$-môđun $P$ được gọi là xạ ảnh nếu hàm tử $\text{Hom}_R(P,-): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (bảo toàn toàn cấu). Một $R$-môđun $I$ được gọi là nội xạ nếu hàm tử $\text{Hom}_R(-,I): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (biến đơn cấu thành toàn cấu). 

 

Mệnh đề 1.6. Cho $f: A \to B$ là một tựa đẳng cấu giữa hai phức tập trung ở bậc không âm. Nếu $A$ nội xạ ở mọi bậc hoặc $B$ xạ ảnh ở mọi bậc thì $f$ là một tương đương đồng luân.

 

Như vậy, nếu muốn làm đại số đồng điều trong đó các phức sai khác tựa đẳng cấu, ta có hai mô hình:

  • mô hình "xạ ảnh", nơi các vật "tốt ở nguồn" là các môđun xạ ảnh, và mọi vật đều "tốt ở đích". Mỗi $R$-môđun đều có một giải xạ ảnh $P_{\bullet} \to M$, nó đóng vai trò như các CW-phức cho các không gian tô pô.
  • mô hình "nội xạ", nơi mọi vật đều "tốt ở nguồn" và các vật "tốt ở đích" là các môđun nội xạ.  Mỗi $R$-môđun đều có một giải nội xạ $M \to I_{\bullet}$, nó đóng vai trò đối ngẫu so với các CW-phức cho các không gian tô pô.

Một trong những mục tiêu của lý thuyết đồng luân của Quillen là tổng quát hóa khái niệm "giải" ở trên cho các phạm trù không abel.

 

Ta nhắc lại về dãy khớp dài. Giả sử $0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các phức dây chuyền, khi đó ta có dãy khớp dài $$\cdots \to H_n(A) \xrightarrow{i_\ast} H_n(B) \xrightarrow{p_\ast} H_n(C) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \to \cdots \to H_0(C) \to 0,$$ trong đó $\partial$ là các đồng cấu nối. Có hai cách xây dựng các đồng cấu nối.

  1. Ta có thể xét ánh xạ dây chuyền $i: A \to B$ tùy ý (không nhất thiết là đơn cấu). Nón (cone) của $i$ là phức $C(i)$ cho bởi $B_n \oplus A_{n-1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,a) = (d(b) + i(a), d(a))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $C$ bởi $C(i)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu $C(i) \to A[-1]$. Khi $i$ là đơn cấu, ta kiểm tra được rằng $C(i)$ tựa đẳng cấu với $C$.
  2. Ta cũng có thể xét ánh xạ dây chuyền $p: B \to C$ tùy ý (không nhất thiết là toàn cấu). Thớ đồng luân (homotopy fiber) của $p$ là phức $K(p)$ cho bởi $B_n \oplus C_{n+1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,c) = d(b), p(b) + d(c))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $A$ bởi $K(p)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu nhúng $C[1] \to K(p)$. Khi $p$ là toàn cấu, ta kiểm tra được rằng $K(p)$ tựa đẳng cấu với $A$.

Để xây dựng dãy khớp dài cho các nhóm đồng luân của các không gian tô pô, ta cần các khái niệm tương tự (theo nghĩa đồng luân) với khái niệm đơn cấu và toàn cấu của phức dây chuyền. Đó là khái niệm (đối) phân thớ.

 

Định nghĩa 1.7. Một phân thớ Hurewicz là một ánh xạ liên tục $p: E \to B$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán

1.png

$H$ có thể nâng thành một ánh xạ liên tục $\tilde{H}$. Nói cách khác, nếu ta có một phép đồng luân $H: X \times [0,1] \to B$ giữa hai ánh xạ liên tục $f,g: X \to B$ và một nâng $\tilde{f}: X \to E$ của $f$, thế thì ta có thể nâng $H$ thành một phép đồng luân giữa $\tilde{f}$ và một nâng $\tilde{g} = \tilde{H}(-,1)$ của $g$.

 

Mệnh đề 1.8. Kéo lùi của một phân thớ Hurewicz là một phân thớ Hurewicz.

 

Ví dụ 1.9. Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa không gian đường của $f$ bởi $$P_f = Y^{[0,1]} \times_Y X = \{(\gamma,x) \,|\, \gamma: [0,1] \times X, x \in X, \gamma(0) = f(x)\},$$ trong đó tô pô trên $Y^{[0,1]}$ là tô pô compact-mở. Thế thì ánh xạ $\text{ev}_1: P_f \to Y$ cho bởi $\text{ev}_1(\gamma,x) =\gamma(1)$ là một phân thớ Hurewicz. Hơn nữa, ta có phân tích $X \tilde{\hookrightarrow} P_f \xrightarrow{\text{ev}_1} Y$ - nghĩa là có thể phân tích mọi ánh xạ liên tục thành hợp của một phân thớ và một tương đương đồng luân yếu.

 

Mệnh đề 1.10. Cho $p: E \to B$ là một phân thớ với $B$ liên thông đường. Khi đó các thớ $E_b = p^{-1}(b)$ (với $b \in B$) tương đương đồng luân. Nếu ta lấy $b_0 \in B$, $F = p^{-1}(b_0)$ và $f_0 \in F$ thì ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(F,f_0) \to \pi_n(E,f_0) \to \pi_n(B,b_0) \to \pi_{n-1}(F,f_0) \to \cdots$$

 

Một cách đối ngẫu, ta có

 

Định nghĩa 1.11. Một đối phân thớ (Hurewicz) là một ánh xạ liên tục $i: A \to X$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán

2.png

$h$ có thể mở rộng thành một ánh xạ liên tục $H$. Nói cách khác, nếu ta có một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ và một phép đồng luân giữa $h$ "hạn chế" $f \circ i = f|_A$ và một ánh xạ khác $g: A \to Y$, thì ta có thể mở rộng $h$ lên cả $X$.

 

Mệnh đề 1.12. Một đối phân thớ $i: A \to X$ cảm sinh một phép đồng phôi $i: A \to i(A)$. Nếu $X$ Hausdorff thì $i(A)$ đóng. 

 

Ví dụ 1.13. Phép bao hàm của một CW-phức con trong một CW-phức là một đối phân thớ.

 

Ví dụ 1.14. Cho $f: A \to X$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa hình trụ của $f$ bởi $$C_f = (A \times [0,1] \sqcup X) / \left\langle(a,0) \sim f(a): a \in A \right\rangle.$$ Ta có phân tích của $f$ thành hợp của một tương đương đồng luân yếu và một đối phân thớ $A \hookrightarrow C_f \tilde{\rightarrow} X$.

Cho hai ánh xạ liên tục $f,g: A \to X$. Nhận xét rằng, với $\gamma = (1_A,1_A): A \sqcup A \to A$ là ánh xạ hiển nhiên, cho một phép đồng luân giữa $f$ và $g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $H: C_\gamma \to Y$ sao cho hợp $A \sqcup A \to C_f \to X$ chính là ánh xạ $(f,g)$. Một cách đối ngẫu, xét $\delta = (1_X,1_X): X \to X \times X$ là ánh xạ đường chéo. Thế thì cho một ánh xạ liên tục $H: X \to P_\delta$ sao cho $\text{ev}_0 \circ H = f$ và $\text{ev}_1 \circ H = g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $u: A \to X$ cùng hai phép đồng luân $f \simeq u \simeq g$.

 

Định nghĩa. Cho $(X,A)$ là một cặp không gian và $a \in A$. Ta định nghĩa các tập hợp đồng luân tương đối $\pi_n(X,A)$ (với $n \ge 1$) là thương của tập hợp các ánh xạ liên tục $\gamma: [0,1]^n \to X$ sao cho $\gamma(\partial [0,1]^n) \subset A$ và $\gamma(\partial [0,1]^n \setminus ([0,1]^{n-1} \times \{0\})) \subset A = \{a\}$ sai khác đồng luân tương đối $A$. Đó là một nhóm với $n \ge 2$ và là một nhóm abel với $n \ge 3$.

 

Mệnh đề 1.15. Ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(A) \to \pi_n(X) \to \pi_n(X,A) \to \pi_{n-1}(A) \to \cdots$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 31-01-2023 - 18:59

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

 

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#2
nmlinh16

nmlinh16

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

2. Định nghĩa phạm trù mô hình

 

Định nghĩa (Quillen, 1967). Một phạm trù mô hình là một phạm trù $\mathbf{M}$ cùng ba lớp cấu xạ $\mathscr{W}$, $\mathscr{C}$, $\mathscr{F}$, lần lượt được gọi là các tương đương yếu, đối phân thớ, và phân thớ, lần lượt được ký hiệu bởi $\tilde{\rightarrow}, \hookrightarrow, \twoheadrightarrow$ sao cho các tiên đề sau được thỏa mãn.

  • (MC1) Tính đầy đủ. $\mathbf{M}$ có đủ giới hạn nhỏ và đối giới hạn nhỏ.
  • (MC2) Hai trong ba. Giả sử $f$ và $g$ là hai cấu xạ sao cho $gf$ được định nghĩa. Nếu hai trong ba cấu xạ $f$, $g$, và $gf$ thuộc $\mathscr{W}$ thì cấu xạ còn lại cũng vậy.
  • (MC3) Rút gọn. Nếu một cấu xạ $f$ là một rút gọn của một cấu xạ $g$, và $g \in \mathscr{W}$ (tương ứng, $g \in \mathscr{C}$, $g \in \mathscr{F}$) thì $f$ cũng vậy.
    Ở đây, ta xét phạm trù $\mathbf{M}^{(2)}$ với các vật là các cấu xạ trong $\mathbf{M}$, và các cấu xạ là các hình vuông giao hoán. Ta hiểu $f$ là một rút gọn của $g$ nghĩa là $f$ là một rút gọn của $g$ trong phạm trù $\mathbf{M}^{(2)}$, cụ thể là tồn tại biểu đồ giao hoán
    3.png
    (trong đó hợp của hai cấu xạ ở hai hàng lần lượt là $1_A$ và $1_B$).
  • (MC4) Tính chất nâng. Giả sử ta có biểu đồ giao hoán với các mũi tên liền, trong đó $i \in \mathscr{C}$ và $p \in \mathscr{F}$:
    4.png
    nếu $i \in \mathscr{W}$ hoặc $p \in \mathscr{W}$ thì tồn tại mũi tên đứt tạo thành hai tam giác giao hoán. 
  • (MC5) Thay thế. Mọi cấu xạ $f: X \to Y$ thừa nhận hai phân tích $$X \tilde{\hookrightarrow} P_f \twoheadrightarrow Y \qquad X \hookrightarrow C_f \tilde{\twoheadrightarrow} Y$$ và các phân tích này có tính hàm tử (nói cách khác, ta có 4 hàm tử $\mathbf{M}^{(2)} \to \mathbf{M}^{(2)}$).

Trong tiên đề (MC4), mũi tên đứt nói chung không duy nhất. Ta nói $i$ có tính chất nâng trái (LLP) đối với $p$ và $p$ có tính chất nâng phải đối với $i$ (RLP), ký hiệu bởi $i \perp p$. Các cấu xạ trong $\mathscr{C} \cap \mathscr{W}$ được gọi là các đối phân thớ acyclic, các cấu xạ trong $\mathscr{F} \cap \mathscr{W}$ được gọi là các phân thớ acyclic.

 

Theo tiên đề (MC1), $\mathbf{M}$ có vật đầu $\varnothing$ (đối giới hạn của biểu đồ rỗng) cũng như vật cuối $\ast$ (giới hạn của biểu đồ rỗng).

 

Định nghĩa. Một vật $X$ được gọi là vật đối phân thớ (cofibrant) nếu cấu xạ duy nhất $\varnothing \to X$ là một đối phân thớ, vật phân thớ (fibrant) nếu cấu xạ duy nhất $X \to \ast$ là một phân thớ.

 

Theo tiên đề (MC5), ta có các hàm tử $Q, R: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$, sao cho mọi vật $X$ đều có các phân tích $$\varnothing \hookrightarrow QX \tilde{\twoheadrightarrow} X \qquad X \tilde{\hookrightarrow} RX \twoheadrightarrow \ast$$ đó là các "phép giải (đối) phân thớ".

 

Ví dụ 2.1. Cho $\mathbf{M}$ là một phạm trù tùy ý. Ta có các cấu trúc mô hình:

  • Tương đương yếu: đẳng cấu, đối phân thớ: mọi cấu xạ, phân thớ: mọi cấu xạ.
  • Tương đương yếu: đẳng cấu, đối phân thớ: đẳng cấu, phân thớ: mọi cấu xạ.
  • Tương đương yếu: đẳng cấu, đối phân thớ: mọi cấu xạ, phân thớ: đẳng cấu.
  • Nếu có một cấu trúc mô hình trên $\mathbf{M}$, ta thu được một cấu trúc mô hình trên phạm trù đối $\mathbf{M}^{\text{op}}$ bằng cách đổi vai trò của phân thớ và đối phân thớ.
  • Tích của hai phạm trù mô hình là một phạm trù mô hình (với cấu trúc hiển nhiên).

 

Sau đây là một số tính chất đơn giản.

 

Mệnh đề 2.2. Cho $(\mathbf{M}, \mathscr{W}, \mathscr{C}, \mathscr{F})$ là một phạm trù mô hình. Ta có các khẳng định sau.

  • $i \in \mathscr{C} \iff \forall p \in \mathscr{F} \cap \mathscr{W}, i \perp p$.
  • $i \in \mathscr{C} \cap \mathscr{W} \iff \forall p \in \mathscr{F}, i \perp p$.
  • $p \in \mathscr{F} \iff \forall i \in \mathscr{C} \cap \mathscr{W}, i \perp p$.
  • $p \in \mathscr{F} \cap \mathscr{W} \iff \forall i \in \mathscr{C}, i \perp p$.
  • $f \in \mathscr{W} \iff \exists p \in \mathscr{F} \cap \mathscr{W}, \exists p \in \mathscr{C} \cap \mathscr{W}, f = p \circ i$.

Chứng minh. Chiều $\implies$ trong 4 điều kiện đầu tiên là hiển nhiên theo (MC4). Xét chiều $\impliedby$. Giả sử $i$ thỏa mãn tính chất nâng trái với mọi phân thớ acyclic. Theo (MC5), ta có thể phân tích $i$ thành $A \hookrightarrow X \tilde{\twoheadrightarrow} B$. Áp dụng tính chất nâng trái của $i$ vào biểu đồ giao hoán

5.png

ta thu được một lớp cắt $h$ của $X \tilde{\twoheadrightarrow} B$. Từ biểu đồ giao hoán

6.png

Ta thấy $i$ là một rút gọn của phân thớ $A \hookrightarrow X$, vì thế cũng là một phân thớ. Tương tự, nếu $i$ thỏa mãn tính chất nâng trái với mọi phân thớ, ta xét phân tích $A \tilde{\hookrightarrow} X \twoheadrightarrow B$ và thấy rằng $i$ là một rút gọn của một phân thớ acyclic, vì thế cũng là một phân thớ acyclic. Các tính chất thứ 3 và thứ 4 được chứng minh bằng cách đảo ngược chiều của các mũi tên. Tính chất thứ 5 được suy ra dễ dàng từ (MC2)(MC5). $\square$

 

Hệ quả 2.3. Cho $(\mathbf{M}, \mathscr{W}, \mathscr{C}, \mathscr{F})$ là một phạm trù mô hình. 

  • Hai trong ba lớp cấu xạ $\mathscr{W}, \mathscr{C}, \mathscr{F}$ xác định lớp còn lại.
  • Các lớp $\mathscr{W}, \mathscr{C}, \mathscr{F}$ đóng với phép hợp thành cấu xạ.
  • Các lớp $\mathscr{C}$ và $\mathscr{C} \cap \mathscr{W}$ đóng với phép đẩy ra, các lớp $\mathscr{F}$ và $\mathscr{F} \cap \mathscr{W}$ đóng với phép kéo lùi.
  • Các đẳng cấu thuộc cả ba lớp $\mathscr{W}, \mathscr{C}, \mathscr{F}$.

Ví dụ 2.4 (Quillen, 1967). Phạm trù $\mathbf{Top}$ có một cấu trúc mô hình với

  • tương đương yếu: tương đương đồng luân yếu;
  • đối phân thớ: rút gọn của các ánh xạ $i: A \to B$ với $B = \text{colim} B_n$, $B_0 = A$ và $B_{n+1}$ thu được từ $B_n$ bằng cách dán các ngăn (phép bao hàm của CW-phức suy rộng);
  • phân thớ: ánh xạ liên tục có tính chất nâng phải với các phép bao hàm $[0,1]^{n-1} \times \{0\} \to [0,1]^n$, $n \ge 1$ (phân thớ Serre);
  • vật đối phân thớ: mọi không gian;
  • vật phân thớ: rút gọn của các CW-phức suy rộng;

Ví dụ 2.5 (Strøm, 1972). Một cấu trúc khác được cho bởi

  • tương đương yếu: tương đương đồng luân;
  • đối phân thớ: rút gọn của đối phân thớ Hurewicz với ảnh đóng;
  • phân thớ: phân thớ Hurewicz;
  • vật đối phân thớ: mọi vật;
  • vật phân thớ: mọi vật.

Ví dụ 2.6 (Cole, 2006). Một cấu trúc khác hỗn hợp được cho bởi

  • tương đương yếu: tương đương đồng luân yếu (mô hình Quillen);
  • đối phân thớ: rút gọn của đối phân thớ theo Strøm, đồng thời thừa nhận phân tích $f \circ i$, với $i$ là một đối phân thớ theo Quillen và $f$ là một tương đương đồng luân;
  • phân thớ: phân thớ Hurewicz (mô hình Strøm);

Ví dụ 2.7. Phạm trù $\mathbf{Ch}(R)$ các phức dây chuyền các môđun trên một vành $R$ thừa nhận các cấu trúc mô hình sau đây:

  • Mô hình xạ ảnh: Tương đương yếu: tựa đẳng cấu; đối phân thớ: đơn cấu với đối hạch xạ ảnh; phân thớ: toàn cấu (nếu hạn chế lên $\mathbf{Ch}_{\ge 0}(R)$, ta cần xét các ánh xạ dây chuyền toàn cấu ở bậc $\ge 1$).
  • Mô hình nội xạ: Tương đương yếu: tựa đẳng cấu; đối phân thớ: đơn cấu; phân thớ: toàn cấu với hạch nội xạ.
  • Mô hình Strøm: Tương đương yếu: tương đương đồng luân; đối phân thớ: các ánh xạ dây chuyền có tính chất nâng trái đối với $\text{ev}_0: B^I \to B$; phân thớ: các ánh xạ dây chuyền có tính chất nâng phải đối với $i_0: A \to A \otimes I$; ở đây $I = N_\ast(\Delta^1)$ là hàm tử phức chuẩn hóa đã nhắc đến ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình.

 

Trước khi tiếp tục, ta nhắc lại về địa phương hóa phạm trù. Cho $\mathbf{M}$ là một phạm trù và $\mathscr{W}$ là một lớp các cấu xạ trong $\mathbf{M}$. Ta muốn một phạm trù mới trong đó mọi cấu xạ trong $\mathscr{W}$ đều trở thành đẳng cấu.

 

Định nghĩa (GabrielZisman). Một địa phương hóa của $\mathbf{M}$ theo $\mathscr{W}$ là một phạm trù $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ cùng một hàm tử $\lambda: \mathbf{M} \to \mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ thỏa mãn tính chất phổ dụng sau. Với mọi hàm tử $F: M \to \mathbf{C}$ sao cho $Ff$ là một đẳng cấu với mọi $f \in \mathscr{W}$, tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) hàm tử $G: \mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}] \to \mathbf{C}$ và đẳng cấu tự nhiên $G \lambda \cong F$.

 

Nói riêng, với mọi $f \in \mathscr{W}$, $\lambda f$ là một đẳng cấu trong $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$. Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng ta sẽ thấy rằng nó đúng trong phạm trù mô hình.

 

Mệnh đề 2.8. Địa phương hóa $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ tồn tại và là duy nhất sai khác tương đương phạm trù.

 

Một cách xây dựng ad hoc của $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ như sau. Các vật của $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ là các vật của $\mathbf{M}$. Một cấu xạ giữa $X$ và $Y$ trong $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ là tập thương của:

  • tập các đường đi giữa $X$ và $Y$, tạo bởi các cấu xạ trong $\mathbf{M}$, và các cấu xạ trong $\mathscr{W}$ theo chiều ngược (nghịch đảo hình thức của $\mathscr{W}$);
  • quan hệ tương đương sinh bởi $X \xrightarrow{f} Y \xleftarrow{f} X \sim X$ với $f \in \mathscr{W}$, và $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z \sim X \xrightarrow{gf} Z$.

Phép hợp thành cấu xạ trong $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ được cảm sinh từ phép nối đường.

Một cách xây dựng khác: Xét $\mathbf{Arr}$ là phạm trù với hai vật $x, y$ và một cấu xạ không tầm thường duy nhất $x \to y$, và $\mathbf{Iso}$ là phạm trù với hai vật $x,y$ và hai cấu xạ không thường $x \to y$, $y \to x$ là nghịch đảo của nhau. Cho một hàm tử $\mathbf{Arr} \to \mathbf{M}$ (tương ứng, $\mathbf{Iso} \to \mathbf{M}$) cũng là cho một cấu xạ (tương ứng, một đẳng cấu) trong $\mathbf{M}$. Thế thì $\mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$ tương đương với đẩy ra của cặp hàm tử $$\bigsqcup_{f \in \mathscr{W}} \mathbf{Arr} \to \mathbf{M} \qquad \bigsqcup_{f \in \mathscr{W}} \mathbf{Arr} \to \bigsqcup_{f \in \mathscr{W}} \mathbf{Iso}.$$

 

Định nghĩa. Cho $(\mathbf{M}, \mathscr{W}, \mathscr{C}, \mathscr{F})$ là một phạm trù mô hình. Ta định nghĩa phạm trù đồng luân của $\mathbf{M}$ là địa phương hóa $\mathbf{Ho}(\mathbf{M}) = \mathbf{M}[\mathscr{W}^{-1}]$.

 

Một định lý của Freyd (1970) nói rằng phạm trù $\mathbf{Ho}(\mathbf{Top})$ (tương đương yếu = tương đương đồng luân yếu) không phải là một phạm trù cụ thể, tức là không tồn tại hàm tử trung thành $\mathbf{Ho}(\mathbf{Top}) \to \mathbf{Set}$. Nhìn chung, mô tả tường minh phạm trù đồng luân là một vấn đề phức tạp, chẳng hạn việc xác định xem liệu hai cấu xạ trong phạm trù đồng luân có bằng nhau là một vấn đề không tầm thường.

 

Phạm trù đồng luân hoàn toàn chỉ phụ thuộc vào lớp $\mathscr{W}$. Điều này cho thấy ý tưởng rằng các lớp $\mathscr{C}$ và $\mathscr{F}$ chỉ đóng vai trò bổ sung thông tin. Bổ đề 2.9 dưới đây cho thấy rằng, để làm việc với phạm trù đồng luân, ta chỉ cần quan tâm đến các vật (đối) phân thớ.

 

Định nghĩa. Ký hiệu bởi $\mathbf{M}_c$ (tương ứng, $\mathbf{M}_f$, tương ứng, $\mathbf{M}_{cf}$ phạm trù con đầy của $\mathbf{M}$ sinh bởi các vật đối phân thớ (tương ứng, vật phân thớ, tương ứng, vật phân thớ và đối phân thớ). Ta cũng định nghĩa phạm trù đồng luân của chúng bởi địa phương hóa theo lớp $\mathscr{W}$.

 

Bổ đề 2.9. Các phép bao hàm cảm sinh các tương đương phạm trù

7.png

Chứng minh. Xét phép bao hàm $\mathbf{M}_f \subset \mathbf{M}$. Nó biến tương đương yếu thành tương đương yếu, nên cảm sinh một hàm tử $\mathbf{Ho}(\mathbf{M}_f) \to \mathbf{Ho}(\mathbf{M})$. Ngược lại, ta có hàm tử "giải phân thớ" $R: \mathbf{M} \to \mathbf{M}_f$, nó cảm sinh một hàm tử $\mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{Ho}(\mathbf{M}_f)$. Ta kiểm tra được rằng chúng là nghịch đảo (sai khác đẳng cấu tự nhiên) của nhau. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 03-02-2023 - 03:59

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

 

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#3
nmlinh16

nmlinh16

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

3. Đồng luân

 

Cho $(\mathbf{M}, \mathscr{W}, \mathscr{C}, \mathscr{F})$ là một phạm trù mô hình. Ta mô tả lớp $\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,X)$ các cấu xạ trong phạm trù đồng luân giữa hai vật $A$ và $X$. Tính huống lý tưởng nhất là khi ta có thể mô tả nó như thương của một lớp các cấu xạ trong $\mathbf{M}$ bởi một quan hệ đồng luân.

 

Cần chú ý rằng có hai khái niệm đồng luân đối ngẫu của nhau: đồng luân trái (trên nguồn) và đồng luân phải (trên đích). Ta định nghĩa chúng bằng cách tổng quát hóa các khái niệm không gian đường (Ví dụ 1.9) và hình trụ (Ví dụ 1.14), nhờ tiên đề phân tích (MC5).

 

Định nghĩa. Một hình trụ của một vật $A$ là một phân tích $A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\rightarrow} A$ của cấu xạ hiển nhiên $A \sqcup A \xrightarrow{(1_A,1_A)} A$.

 

Ta ký hiệu bởi $i_0,i_1: A \to C$ các thành phần của phép đối phân thớ $(i_0,i_1): A \sqcup A \hookrightarrow C$ trong phân tích trên.

 

Định nghĩa. Cho hai cấu xạ $f,g: A \to X$. Một phép đồng luân trái giữa $f$ và $g$ là một hình trụ $A \sqcup A \hookrightarrow{C} \tilde{\rightarrow} A$ cùng một cấu xạ $H: C \to X$ sao cho $H i_0 = f$ và $H i_1 = g$. Khi $H$ tồn tại, ta nói $f$ đồng luân trái với $g$ và ký hiệu $f \simeq_l g$.

 

Nhìn chung, không có một cách chọn hình trụ "chính tắc". Hai cấu xạ có thể đồng luân qua một hình trụ nào đó, nhưng không qua một hình trụ khác.

 

Ví dụ 3.1. Trong $\mathbf{Top}$ với mô hình Quillen, nếu $A$ là một vật đối phân thớ, ta có thể lấy $C = A \times [0,1]$, một phép đồng luân trái chính là một phép đồng luân theo nghĩa cổ điển.

 

Ví dụ 3.2. Cho $R$ là một vành, trong $\mathbf{Ch}(R)$ với mô hình nội xạ, xét một phức dây chuyền $A$. Ta có thể lấy phức $C$ với $C_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n-1}$ và vi phân $d(x,y,z) = (dx + (-1)^n z, dy - (-1)^n z, dz)$. Một phép đồng luân trái chính là một phép đồng luân dây chuyền.

 

Mệnh đề 3.3. Nếu $f \simeq_l g: A \to X$ thì với mọi cấu xạ $h: X \to Y$, ta có $hf \simeq_l hg: A \to Y$.

Chứng minh. Nếu $H: C \to X$ là một phép đồng luân trái giữa $f$ và $g$ thì $hH: C \to Y$ là một phép đồng luân trái giữa $hf$ và $hg$. $\square$

 

Bổ đề 3.4. Nếu $A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\rightarrow} A$ là một hình trụ và $A$ là một vật đối phân thớ thì $i_0,i_1: A \to C$ là các đối phân thớ acyclic.

Chứng minh. Phép nhúng thứ nhất $A \to A \sqcup A$ là một đẩy ra của đối phân thớ $\varnothing \to A$, vì thế cũng là một đối phân thớ, suy ra hợp thành $i_0: A \to A \sqcup A \to C$ cũng là một đối phân thớ. Mặt khác, hợp thành của $$A \xrightarrow{i_0} C \tilde{\rightarrow} A$$ chính là $1_A$ theo định nghĩa của cấu xạ hiển nhiên $A \sqcup A \to A$, ta biết rằng $1_A$ là một tương đương yếu (Hệ quả 2.3) nên theo (MC2) thì $i_0$ cũng là một tương đương yếu. Vậy $i_0$ là một đối phân thớ acyclic, tương tự cho $i_1$. $\square$

 

Mệnh đề 3.5. Nếu $A$ là một vật đối phân thớ thì $\simeq_l$ là một quan hệ tương đương trên $\text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,X)$.

Chứng minh.


  • Tính phản xạ. Cho cấu xạ $f: A \to X$. Xét một hình trụ tùy ý $A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\rightarrow} A$ (luôn tồn tại theo (MC5)). Thế thì hợp thành $H: C \tilde{\rightarrow} A \xrightarrow{f} X$ là một phép đồng luân giữa $f$ và chính nó.

  • Tính đối xứng. Giả sử $f \simeq_l g$ bởi một phép đồng luân $H: C \to X$. Ta định nghĩa một hình trụ mới $A \sqcup A \cong A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\rightarrow} A$, trong đó đẳng cấu đầu tiên là phép đảo hai thành phần. Đối với hình trụ mới này, hai thành phần của phép phân thớ $ A \sqcup A \hookrightarrow C$ lần lượt là $i_1$ và $i_0$, vì thế $H$ định nghĩa một phép đồng luân trái giữa $g$ và $f$ vì $Hi_1 = g$ và $Hi_0 = f$.

  • Tính truyền dẫn. Đây là chỗ ta cần dùng giả thiết $A$ là vật đối phân thớ. Giả sử $f \simeq_l g$ và $g \simeq_l h$ lần lượt bởi các phép đồng luân $H: C \to X$ và $H': C' \to X$. Ta có $Hi_1 = H'i_0' = g$ nên ta sẽ "dán" $i_1$ và $i_0'$ như sau: ký hiệu $\bar{C}$ là đẩy ra của cặp cấu xạ $$i_1: A \to C \qquad i_0': A \to C'.$$ Các hợp thành $A \xrightarrow{i_1} C \tilde{\rightarrow}A$ và $A \xrightarrow{i_0'} C' \tilde{\rightarrow} A$ đều bằng $1_A$ nên theo tính chất phổ dụng của đẩy ra, chúng cảm sinh một cấu xạ $\bar{C} \to A$. Chú ý rằng $j: C \to \bar{C}$ và $j': C' \to \bar{C}$ là các đối phân thớ acyclic (chúng là đẩy ra của $i_1$ và $i_0'$, đây là các phân thớ acyclic theo Bổ đề 3.4), nên theo (MC2) thì $\bar{C} \to A$ là một tương đương yếu. Xét cấu xạ $(ji_0, j'i_1'): A \sqcup A \to \bar{C}$, nó không nhất thiết là một phân thớ. Ta khắc phục điều này bằng cách dùng (MC5) để phân tích nó thành $A \sqcup A \tilde{\rightarrow} C'' \tilde{\rightarrow} \bar{C}$, từ đó ta có hình trụ $A \sqcup A \hookrightarrow C'' \tilde{\rightarrow} A$. Cuối cùng, vì $Hi_1 = H'i_0' = g$ nên tính chất phổ dụng của đẩy ra cho ta một cấu xạ $\bar{H}: \bar{C} \to X$ thỏa mãn $\bar{H} j = H$ và $\bar{H}j' = H'$. Nói riêng, $\bar{H}ji_0 = Hi_0 = f$ và $\bar{H}j'i_1' = H'i_1' = h$. Như vậy, hợp thành $H'': C'' \tilde{\rightarrow} \bar{C} \xrightarrow{\bar{H}} X$ là một phép đồng luân trái giữa $f$ và $h$. $\square$


Cho $A$ là một vật đối phân thớ và $h: X \to Y$ là một cấu xạ. Theo các Mệnh đề 3.3 và 3.5 thì $h$ cảm sinh một ánh xạ $$h_\ast: \text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,X) / \simeq_l \to \text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,Y) / \simeq_l, \qquad [f] \mapsto [hf].$$

 

Mệnh đề 3.6. Nếu $A$ là một vật đối phân thớ và $h: X \tilde{\twoheadrightarrow} Y$ là một phân thớ acyclic thì $h_\ast$ là một song ánh. Kết luận này vẫn đúng nếu $h$ là một tương đương yếu và $X, Y$ là các vật phân thớ.

Chứng minh. Giả sử $h$ là một phân thớ acyclic. Xét một cấu xạ $g: A \to Y$ tùy ý. Ta áp dụng (MC4) cho biểu đồ giao hoán

8.png

Thế thì tồn tại cấu xạ $f: A \to X$ sao cho $g = hf$, suy ra $h_\ast$ là một toàn ánh.

Giả sử $f,g: A \to X$ là hai cấu xạ sao cho $hf \simeq_l hg$, nghĩa là tồn tại một hình trụ $A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\twoheadrightarrow} A$ và một phép đồng luân $H: C \to Y$ giữa $hf$ và $hg$. Nói cách khác, biểu đồ với các mũi tên liền dưới đây

9.png

giao hoán. Áp dụng (MC4), ta tìm được mũi tên đứt $K$, đó là một phép đồng luân giữa $f$ và $g$. Vậy $h_\ast$ là một đơn ánh.

Tiếp theo, xét trường hợp $X, Y$ là các vật phân thớ và $h$ là một tương đương yếu. Ta áp dụng

 

Bổ đề Brown. Cho $F: \mathbf{M} \to \mathbf{N}$ là một cấu xạ giữa hai phạm trù mô hình.


  • Nếu $F$ biến mỗi đối phân thớ acyclic giữa hai vật đối phân thớ thành một tương đương yếu thì $F$ cũng biến mỗi tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ thành một tương đương yếu.

  • Nếu $F$ biến mỗi phân thớ acyclic giữa hai vật phân thớ thành một tương đương yếu thì $F$ cũng biến mỗi tương đương yếu giữa hai vật phân thớ thành một tương đương yếu.


Chứng minh bổ đề Brown. Hiển nhiên ta chỉ cần chứng minh ý đầu tiên. Giả sử $f: A \tilde{\rightarrow} B$ là một tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ. Các phép bao hàm $i_A: A \to A \sqcup B$ và $i_B: B \to A \sqcup B$ là các đối phân thớ (vì chúng là đẩy ra của các đối phân thớ $\varnothing \to A$ và $\varnothing \to B$. Áp dụng (MC5), ta phân tích $(f,1_B): A \sqcup B \to B$ thành hợp của một phân thớ acyclic $p: X \tilde{\twoheadrightarrow} B$ và một đối phân thớ $j: A \sqcup B \hookrightarrow X$, nghĩa là $pji_A = f$ và $pji_B = 1_B$. Theo (MC2) và Hệ quả 2.3 thì $ji_B: B \to X$ là một tương đương yếu. Mà $j$ và $i_B$ là các phân thớ nên $ji_B$ là một phân thớ (acyclic). Mà $B$ và $X$ các vật đối phân thớ (chú ý rằng $A \sqcup B$ là một vật đối phân thớ) nên theo giả thiết thì $Fj \circ Fi_B$ là một tương đương yếu.Vì $Fp \circ Fj \circ Fi_B = 1_{FB}$ là một tương đương yếu nên $Fp$ là một tương đương yếu theo (MC2) và Hệ quả 2.3

Tương tự, $ji_A: A \to X$ là một phân thớ, và là một tương đương yếu do $pji_A = f$ và (MC2), vậy $ji_A$ là một phân thớ acyclic. Mà $A$ và $X$ là các vật đối phân thớ nên theo giả thiết thì $Fj \circ Fi_A$ là một tương đương yếu, suy ra $Ff = Fp \circ Fj \circ Fi_A$ là một tương đương yếu. $\square$

 

Trở lại chứng minh của Mệnh đề 3.6. Xét phạm trù $\mathbf{Set}$ với cấu trúc mô hình mà các tương đương yếu các các song ánh, và mọi ánh xạ đều là phân thớ cũng như đối phân thớ. Xét hàm tử $F = \text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,-) / \simeq_l: \mathbf{M} \to \mathbf{Set}$. Kết quả trường hợp trước nói rằng $Fh = h_\ast$ là một song ánh nếu $h$ là một phân thớ acyclic, vì thế kết luân của bổ đề Brown nói rằng nó cũng là một sonh ánh nếu $h$ là một tương đương yếu giữa hai vật acyclic. $\square$

 

Mệnh đề 3.7. Nếu $X$ là một vật phân thớ, $f \simeq_l g: A \to X$ và $h: B \to A$ là một cấu xạ thì $fh \simeq_l gh: B \to X$.

Chứng minh. Xét một hình trụ $A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\rightarrow} A$ và một phép đồng luân $H: C \to X$ giữa $f$ và $g$. Ta phân tích $C \tilde{\rightarrow} A$ thành $C \tilde{\hookrightarrow} C' \tilde{\twoheadrightarrow} A$ (Mệnh đề 2.2), thế thì $A \sqcup A \hookrightarrow C' \tilde{\twoheadrightarrow} A$ lại là một hình trụ. Hơn nữa, vì $X$ là một vật phân thớ, ta có thể áp dụng (MC4) cho biểu đồ giao hoán với các mũi tên liền

10.png

để thu được một phép đồng luân $H': C' \to X$ giữa $f$ và $g$. Tóm lại, ta có thể giả sử rằng $C \to A$ là một phân thớ acyclic.

Xét một hình trụ tùy ý $B \sqcup B \hookrightarrow D \tilde{\rightarrow} B$. Xét biểu đồ với các mũi tên liền

11.png

Ở đây, hình chữ nhận lớn giao hoán theo định nghĩa của các cấu xạ hiển nhiên $A \sqcup A \to A$ và $B \sqcup B \to B$. Áp dụng (MC4), ta thu được một mũi tên đứt $G$, và ta kiểm tra được (bằng định nghĩa của $\sqcup$) rằng  $HG: D \to X$ là một phép đồng luân giữa $fh$ và $gh$. $\square$

 

Đảo ngược chiều của các mũi tên trong toàn bộ phần trên, ta thu được khái niệm đồng luân phải.

 

Định nghĩa. Một vật đường của một vật $X$ là một phân tích $X \tilde{\rightarrow} P \twoheadrightarrow X \times X$ của cấu xạ đường chéo $X \to X \times X$. 

 

Ta ký hiệu bởi $p_0,p_1: P \to X$ các thành phần của phép phân thớ $(p_0,p_1): P \twoheadrightarrow X \times X$ trong phân tích trên.

 

Ví dụ 3.8. Trong $\mathbf{Top}$ với mô hình Quillen, nếu $X$ là một CW-phức thì $X^{[0,1]}$ (với tô pô compact-mở) là một vật đường của $X$.

 

Ví dụ 3.9. Cho $R$ là một vành, trong $\mathbf{Ch}_{\ge 0}(R)$ với mô hình xạ ảnh, xét một phức dây chuyền $A$. Ta có thể lấy phức $P$ với $P_n = A_n \oplus A_n \oplus A_{n+1}$ và vi phân $d(x,y,z) = (dx,dy,dz+y-x)$. 

 

Định nghĩa. Cho hai cấu xạ $f,g: A \to X$. Một phép đồng luân phải giữa $f$ và $g$ là một vật đường $X \tilde{\rightarrow} P \twoheadrightarrow X \times X$ cùng một cấu xạ $H: A \to P$ sao cho $p_0 H = f$ và $p_1 H = g$. Khi $H$ tồn tại, ta nói $f$ đồng luân phải với $g$ và ký hiệu $f \simeq_r g$.

 

Mệnh đề 3.10. Nếu $f \simeq_r g: A \to X$ thì với mọi cấu xạ $h: B \to A$, ta có $fh \simeq_l gh: B \to X$.

 

Bổ đề 3.11. Nếu $X \tilde{\rightarrow} P \twoheadrightarrow X \times X$ là một hình trụ và $X$ là một vật phân thớ thì $p_0,p_1: P \to X$ là các phân thớ acyclic.

 

Mệnh đề 3.12. Nếu $X$ là một vật phân thớ thì $\simeq_r$ là một quan hệ tương đương trên $\text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,X)$.

 

Cho $X$ là một vật phân thớ và $h: B \to A$ là một cấu xạ. Theo các Mệnh đề 3.10 và 3.12 thì $h$ cảm sinh một ánh xạ $$h^\ast: \text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,X) / \simeq_r \to \text{Hom}_{\mathbf{M}}(B,X) / \simeq_r, \qquad [f] \mapsto [fh].$$

 

Mệnh đề 3.13. Nếu $X$ là một vật phân thớ và $h: B \tilde{\twoheadrightarrow} A$ là một đối phân thớ acyclic thì $h^\ast$ là một song ánh. Kết luận này vẫn đúng nếu $h$ là một tương đương yếu và $B, A$ là các vật đối phân thớ.

 

Mệnh đề 3.14. Nếu $A$ là một vật đối phân thớ, $f \simeq_r g: A \to X$ và $h: X \to Y$ là một cấu xạ thì $hf \simeq_r hg: A \to Y$.

 

 

Sau đây, ta sẽ mô tả cụ thể lớp $\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,X)$.

 

Mệnh đề 3.15. Cho $f,g: A \to X$ là hai cấu xạ.


  • Nếu $A$ là một vật đối phân thớ và $f \simeq_l g$ thì $f \simeq_r g$.

  • Nếu $X$ là một vật phân thớ và $f \simeq_r g$ thì $f \simeq_l g$.


Chứng minh. Ta chứng minh ý thứ nhất, ý thứ hai thu được bằng cách đảo ngược chiều của các mũi tên.

Xét một hình trụ $A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\rightarrow} A$ và một phép đồng luân trái $H:  C\to X$ giữa $f$ và $g$. Ký hiệu $j: C  \tilde{\rightarrow}  A$. Vì $A$ là một vật đối phân thớ nên các thành phần $i_0,i_1: A \to C$ là các đối phân thớ acyclic (Bổ đề 3.4). Chọn một vật đường $X \tilde{\rightarrow} P \twoheadrightarrow X \times X$. Nhận xét rằng biểu đồ với các mũi tên liền dưới đây giao hoán, vì $fji_0 = Hi_0 = f$.

12.png

Áp dụng (MC4), ta thu được mội mũi tên đứt $K: C \to P$.Thế thì $Ki_1: A \to P$ là một phép đồng luân phải giữa $f$ và $g$, vì $p_0Ki_1 = fji_1 = f$ và $p_1 K i_1 = Hi_1 = g$. $\square$.

 

Cho $A$ là một vật phân thớ và $X$ là một vật phân thớ. Theo Mệnh đề 3.15, ta có một quan hệ đồng luân $\simeq$ $\text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,X)$ mà không cần quan tâm đến trái hay phải nữa. Ký hiệu bởi $[A,X]$ thương của $\text{Hom}_{\mathbf{M}}(A,X)$ bởi $\simeq$.

 

Định nghĩa. Phạm trù $\pi \mathbf{M}_{cf}$ là phạm trù mà các vật là những vật đồng thời là vật phân thớ cũng như vật đối phân thớ trong $\mathbf{M}$, và các cấu xạ $\text{Hom}_{\pi \mathbf{M}_{cf}}(A,X) = [A,X]$.

 

Định lý 3.16 (Định lý Whitehead cho phạm trù mô hình). Cho $f: A \to X$ là một cấu xạ giữa hai vật phân thớ và đối phân thớ. Thế thì $f$ là một tương đương yếu khi và chỉ khi nó là một tương đương đồng luân (nghĩa là tồn tại cấu xạ $g: X \to A$ sao cho $fg \simeq 1_X$ và $gf \simeq 1_A$).

Chứng minh. ($\implies$) Giả sử $f$ là một tương đương yếu. Theo Mệnh đề 2.2, ta có thể phân tích $f = pi$, với $i: A \tilde{\hookrightarrow} W$ và $W \tilde{\twoheadrightarrow} X$. Dễ thấy $W$ là một vật phân thớ và đối phân thớ.

Áp dụng (MC4) cho biểu đồ giao hoán với các mũi tên liền

13.png

ta thu được một cấu xạ $r: W \to A$ sao cho $ri = 1_A$. Theo Mệnh đề 3.13, $i$ cảm sinh một song ánh $i^\ast: [W,W] \to [A,W]$. Mặt khác, $i^\ast[ir] = [iri] = [i] = i^\ast[1_W]$, nên $[ir] = [1_W]$, hay $ir \simeq 1_W$. Tương tự, tồn tại cấu xạ $s: X \to W$ sao cho $ps = 1_X$ và $sp \simeq 1_W$. Đặt $g = rs: X \to A$, thế thì $fg = pirs \simeq ps = 1_X$ và $gf = rspi \simeq ri = 1_A$.

($\impliedby$) Ngược lại, giả sử $f$ là một tương đương đồng luân. Ta phân tích $f = pi$, với $i: A \tilde{\hookrightarrow} W$ và $p: W \twoheadrightarrow X$ (theo (MC5)). Ta cần chứng minh rằng $p$ là một tương đương yếu. Chú ý rằng $W$ là một vật phân thớ và đối phân thớ. Xét $g: X \to A$ là một cấu xạ sao cho $fg \simeq 1_X$ và $gf \simeq 1_A$. Xét $H: C \to X$ là một phép đồng luân trái giữa $fg$ và $1_X$. vì $pig = fg = Hi_0$ nên biểu đồ với các mũi tên liền dưới đây giao hoán

14.png

Ở đây, $i_0$ là một đối phân thớ acyclic theo Bổ đề 3.4. Áp dụng (MC4), ta thu được một mũi tên nét đứt $H': C \to W$. Thế thì $s = H'i_1 \simeq H'i_0 = ig$. Theo chiều thuận của định lý, $i$ là một tương đương đồng luân, nghĩa là tồn tại cấu xạ $r: W \to A$ sao cho $ri \simeq 1_A$ và $ir \simeq 1_W$. Ta có $$sp \simeq spir \simeq sfr \simeq igfr \simeq ir \simeq 1_W,$$ nên tồn tại một phép đồng luân phải $\tilde{H}: W \to \tilde{P}$ giữa $sp$ và $1_W$. Vì $W$ là một vật phân thớ nên các thành phần $q_0,q_1: \tilde{P} \to W$ của vật đường $\tilde{P}$ là các tương đương yếu (Bổ đề 3.11). Do $1_W = q_1 \tilde{H}$ và $1_W$ là một tương đương yếu (Hệ quả 2.3), nên $\tilde{H}$ là một tương đương yếu theo (MC2), suy ra $sp = q_0 \tilde{H}$ cũng là một tương đương yếu. Cuối cùng, ta có biểu đồ giao hoán

15.png

(chú ý rằng $ps = pH'i_1 = Hi_1 = 1_X$), nên $p$ là một rút gọn của $sp$, suy ra $p$ cũng là một tương đương yếu theo (MC3). $\square$

 

Nhắc lại rằng tiên đề (MC5) cho ta các hàm tử $Q, R: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$ sao cho $\varnothing \hookrightarrow QX \tilde{\twoheadrightarrow} X$ và $X \tilde{\hookrightarrow} RX \twoheadrightarrow \ast$ (các phép giải (đối) phân thớ). Chúng cho phép mô tả tường minh các cấu xạ giữa hai vật trong phạm trù đồng luân.

 

Định lý 3.17 (Mô tả phạm trù đồng luân). Phạm trù đồng luân $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$ tương đương với phạm trù $\pi \mathbf{M}_{cf}$. Với mọi vật $A$ và $X$ trong $\mathbf{M}$, ta có $$\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,X) \cong [QA,RX].$$ Hơn nữa, nếu một cấu xạ $f: A \to X$ trở thành một đẳng cấu $[f]$ trong $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$ thì $f$ là một tương đương yếu.

Chứng minh. Ta đã biểt $\mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \simeq \mathbf{Ho}(\mathbf{M}_{cf})$ theo Bổ đề 2.9. Để chứng minh rằng $\pi: \mathbf{M}_{cf}$ tương đương với $\mathbf{Ho}(\mathbf{M}_{cf})$, ta chứng minh rằng hàm tử thương $\pi: \mathbf{M}_{cf} \to \pi\mathbf{M}_{cf}$ thỏa mãn tính chất phổ dụng của địa phương hóa đối với lớp các tương đương yếu. Thật vậy, cho $\mathbf{C}$ là một phạm trù và $F: \mathbf{M}_{cf} \to \mathbf{C}$ là một hàm tử sao cho $Ff$ là một đẳng cấu với mọi tương đương yếu $f$ (giữa hai vật phân thớ và đối phân thớ). Ta chỉ ra rằng tồn tại duy nhất hàm tử $\bar{F}: \pi \mathbf{M}_{cf} \to \mathbf{C}$ sao cho $\bar{F} \pi = F$. Với $X$ là một vật của $\mathbf{M}_{cf}$, đương nhiên ta phải đặt $\bar{F} X = F X$. Nếu $f$ là một cấu xạ trong $\mathbf{M}_{cf}$, ta cần có $\bar{F} [f] = F f$, vì thế tính duy nhất của $F$ là hiển nhiên. Để chỉ ra sự tồn tại, ta cần chứng minh rằng nếu $f,g: A \to X$ là hai cấu xạ đồng luân giữa hai vật phân thớ và đối phân thớ thì $Ff = Fg$.

Thật vậy, xét một hình trụ $A \sqcup A \hookrightarrow C \tilde{\twoheadrightarrow} A$ và một phép đồng luân trái $H: C \to X$ giữa $f$ và $g$ (ta có thể giả sử $j: C \to A$ là một phân thớ acyclic vì $X$ là một vật phân thớ, như đã làm trong Mệnh đề 3.7). Nói riêng, $C$ là một vật của phạm trù $\mathbf{M}_{cf}$ ($A$ là một vật phân thớ và $A \sqcup A$ là một vật đối phân thớ). Vì $j$ là một tương đương yếu nên $Fj$ là một đẳng cấu, mà $ji_0 = ji_1 = 1_A$ nên $Fj \circ Fi_0 = 1_{FA} = Fj \circ Fi_1$, suy ra $Fi_0 = Fi_1$, do đó $Ff = FH \circ Fi_0 = FH \circ Fi_1 = Fg$.

Vậy $\pi: \mathbf{M}_{cf} \to \pi\mathbf{M}_{cf}$ chính là địa phương hóa của phạm trù $\mathbf{M}_{cf}$ theo lớp các tương tương yếu, hay $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$ tương đương với $\pi \mathbf{M}_{cf}$.

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng $\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,X) \cong [QA,RX].$ Trước hết, vì $QRA \cong A$ và $QRX \cong X$ trong phạm trù đồng luân nên $$\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,X) \cong \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(QRA,QRX) \cong \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M}_{cf})}(QRA,QRX) \cong \text{Hom}_{\pi\mathbf{M}_{cf}}(QRA,QRX) = [QRA, QRX].$$

Mặt khác, $QRA$ là một vật đối phân thớ và $QRX \tilde{\twoheadrightarrow} RX$ là một phân thớ acyclic nên $[QRA,QRX] \cong [QRA, RX]$ theo Mệnh đề 3.6. Tương tự, $RX$ là một vật phân thớ và $QA \tilde{\rightarrow} QRA$ là một tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ (nó là một tương đương yếu vì biểu đồ 

16.png

giao hoán, và vì (MC2)), nên $[QRA, RX] \cong [QA, RX]$ theo Mệnh đề 3.13. Vậy ta có $\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,X) \cong [QA,RX]$.

Cuối cùng, giả sử $f: A \to X$ là một cấu xạ sao cho $[f]$ là một đẳng cấu trong $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$. Ta đã thấy ở trên rằng $\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,X) \cong [QRA, QRX]$, nên $QRf$ là một đẳng cấu trong phạm trù $\pi \mathbf{M}_{cf}$, nghĩa là một tương đương đồng luân. Theo Định lý Whitehead (Định lý 3.16), $QRf$ là một tương đương yếu. Từ biểu đồ giao hoán

17.png

(MC2), ta suy ra rằng $f$ là một tương đương yếu. $\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 03-02-2023 - 04:01

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

 

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#4
nmlinh16

nmlinh16

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

4. Liên hợp Quillen

 

Mệnh đề - Định nghĩa 4.1. Cho $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp hàm tử liên hợp giữa hai phạm trù mô hình. Khi đó 4 khẳng định sau đây tương đương

  1. $F$ bảo toàn đối phân thớ và đối phân thớ acyclic.
  2. $G$ bảo toàn phân thớ và phân thớ acyclic.
  3. $F$ bảo toàn đối phân thớ và $G$ bảo toàn phân thớ.
  4. $F$ bảo toàn đối phân thớ acyclic và $G$ bảo toàn phân thớ acyclic.

Khi các điều kiện trên được thỏa mãn, ta nói $F$ và $G$ là một cặp liên hợp Quillen.

Chứng minh. Nhắc lại (Mệnh đề 2.2) rằng một cấu xạ là một đối phân thớ (tương ứng, đối phân thớ acyclic) khi và chỉ khi nó có tính chất nâng trái đối với mọi phân thớ acyclic (tương ứng, phân thớ). Một cách đối ngẫu, một cấu xạ là một phân thớ (tương ứng, phân thớ acyclic) khi và chỉ khi nó có tính chất nâng phải đối với mọi đối phân thớ acyclic (tương ứng, đối phân thớ). 

Ta chứng minh rằng nếu $F$ bảo toàn đối phân thớ thì $G$ bảo toàn phân thớ acyclic. Thật vậy, cho $p: X \tilde{\twoheadrightarrow} Y$ là một phân thớ acyclic trong $\mathbb{N}$. Ta chứng minh rằng $Gp: GX \to GY$ là một phân thớ acyclic trong $\mathbf{N}$. Xét $i: A \hookrightarrow B$ là một đối phân thớ tùy ý (trong $\mathbf{N}$). Vì $Fi$ là một đối phân thớ nên theo (MC4), tồn tại mũi tên đứt làm giao hoán biểu đồ với các mũi tên liền

18.png

Sau khi lấy liên hợp, ta thu được mũi tên đứt làm giao hoán biểu đồ với các mũi tên liền

19.png

Vậy $i \perp Gp$. Suy ra $Gp$ là một đối phân thớ acyclic.

Tương tự, nếu $F$ bảo toàn đối phân thớ acyclic thì $G$ bảo toàn phân thớ. Một cách đối ngẫu, nếu $G$ bảo toàn phân thớ (tương ứng, phân thớ acyclic) thì $F$ bảo toàn đối phân thớ acyclic (tương ứng, đối phân thớ). Từ các kết quả này, ta dễ thấy rằng 4 điều kiện đã cho tương đương. $\square$

 

Nhận xét rằng nếu $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen thì $F$ bảo toàn vật đối phân thớ (tương ứng, $G$ bảo toàn vật phân thớ). Thật vậy $F \varnothing = \varnothing$ (vì $F$ bảo toàn đối giới hạn) và $G \ast = \ast$ (vì $G$ bảo toàn giới hạn). Hơn nữa, theo Bổ đề Brown (xem chứng minh của Mệnh đề 3.6), $F$ bảo toàn tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ và $G$ bảo toàn tương đương yếu giữa hai vật phân thớ.

 

Ví dụ 4.2. Cho $f: R \to S$ là một đồng cấu vành. Khi đó $-\otimes_R S: \mathbf{Ch}_{\ge 0} (R) \leftrightarrows \mathbf{Ch}_{\ge 0}(S): f^\ast$ là một cặp liên hợp Quillen trên mô hình xạ ảnh.

 

Với $\mathbf{M}$ là một phạm trù mô hình, ta ký hiệu bởi $\lambda: \mathbf{M} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{M})$ hàm tử địa phương hóa.

 

Định nghĩa. Cho $\mathbf{H}$ là một phạm trù tùy ý và $F: \mathbf{M} \to \mathbf{H}$ là một hàm tử.

  • Một hàm tử dẫn xuất trái của $F$ gồm một hàm tử $\mathbb{L}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và một biến đổi tự nhiên $\alpha: \mathbb{L} F \circ \lambda \Rightarrow F$ sao cho: với mọi hàm tử $G: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và mọi biến đổi tự nhiên $\beta: G \lambda \Rightarrow F$, tồn tại duy nhất biến đổi tự nhiên $\theta: G \Rightarrow \mathbb{L} F$ (lạm dụng ký hiệu, ta cũng coi nó như một biến đổi tự nhiên $G \lambda \Rightarrow \mathbb{L}F \circ \lambda$) sao cho ta có $\beta = \alpha \circ \theta: G\lambda \Rightarrow F$.
  • Một hàm tử dẫn xuất phải của $F$ gồm một hàm tử $\mathbb{R}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và một biến đổi tự nhiên $\varepsilon: F \Rightarrow \mathbb{R} F \circ \lambda$ sao cho: với mọi hàm tử $G: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to H$ và mọi biến đổi tự nhiên $\phi: F \Rightarrow G \lambda$, tồn tại duy nhất biến đổi tự nhiên $\phi: \mathbb{R} F  \Rightarrow  G$ sao cho ta có $\phi = \theta \circ \varepsilon: F \Rightarrow G\lambda$.

Hàm tử liên hợp (trái hoặc phải) của một hàm tử, nếu tồn tại, là duy nhất sai khác đẳng cấu tự nhiên.

 

Nhắc lại rằng ta có hàm tử giải đối phân thớ $Q: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$ cùng biến đổi tự nhiên $p: Q \Rightarrow \mathbf{1}_{\mathbf{M}}$. Hơn nữa, $Q$ bảo toàn tương đương yếu (dùng (MC2)).

 

Mệnh đề 4.3. Nếu $F$ biến đối phân thớ acyclic giữa hai vật đối phân thớ (tương ứng, phân thớ acyclic giữa hai vật phân thớ) thành đẳng cấu thì $F$ có dẫn xuất trái (tương ứng, dẫn xuất phải). Nói riêng, nếu $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen thì $F$ có dẫn xuất trái và $G$ có dẫn xuất phải.

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh ý thứ nhất. Xét cấu trúc mô hình trên $\mathbf{H}$ trong đó tương đương yếu là đẳng cấu, và mọi cấu xạ đều là phân thớ cũng như đối phân thớ. Theo Bổ đề Brown, $F$ biến tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ thành đẳng cấu. Do đó $FQ$ phân tích qua $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$, nghĩa là $FQ = \mathbb{L} F \circ \lambda$ với hàm tử $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{H}$ nào đó. Trên các vật, ta có $\mathbb{L} F = FQ X$. Ngoài ra, $p: Q \Rightarrow \mathbf{1}_{\mathbf{M}}$ cảm sinh biến đổi tự nhiên $\alpha: \mathbb{L}F \circ \lambda = FQ \Rightarrow F$.

Ta chứng minh rằng cặp $(\mathbb{L}F, \alpha)$ vừa xây dựng thỏa mãn tính chất phổ dụng của hàm tử liên hợp trái. Thật vậy, cho $G: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{H}$ là một hàm tử và $\beta: G\lambda \Rightarrow F$ là một biến đổi tự nhiên. Với mỗi vật $X$ trong $\mathbf{M}$, tương đương yếu $p_X: QX \tilde{\twoheadrightarrow} X$ trở thành đẳng cấu $\lambda p_X$ trong $\mathbf{Ho}(\mathbf{M})$, nên $G\lambda p_X: GQX \cong GX$. Đặt $\theta_X = \beta_{QX} \circ G \lambda p_X^{-1}: GX \to F QX$. Thế thì $\theta$ là một biến đổi tự nhiên $G \Rightarrow \mathbb{L}F$, hơn nữa vì $\alpha_X \beta_{QX} = \beta_X \circ Gp_X$ nên $\beta_X = \alpha_X \theta_X$, hay $\beta = \alpha \circ \theta$.

Ta chỉ ra rằng biến đổi tự nhiên $\theta$ như vậy là duy nhất. Thật vậy, nếu $\theta'$ là một biến đổi tự nhiên khác như vậy thì với mọi vật $X$, ta có $\beta_{QX} = \alpha_{QX} \theta'_{QX}$. Xét hình lập phương giao hoán

20.png

trong đó mọi vật trừ $X$ đều là vật đối phân thớ, và mọi mũi tên đều là tương đương yếu. Áp dụng $F$, ta thu được các đẳng cấu, trừ ba mũi tên $Fp_X$. Tính giao hoán của mặt trên cho ta $FQQp_X = FQp_X$, mặt trái cho ta $FQp_X = Fp_{QQX}$. Từ đó $FQQp_X = Fp_{QQX}$, và tính giao hoán của mặt sau cho ta $Fp_{QX} = FQp_X = \alpha_X$. Cuối cùng, tính tự nhiên của $\theta'$ cho ta $$\theta'_X \circ G \lambda p_X = FQp_X \circ \theta'_{QX} = \alpha_X \theta'_{QX} = \beta_{QX} = \theta_X \circ G\lambda p_X,$$ suy ra $\theta'_X = \theta_X$ (vì $G\lambda p_X$ là một đẳng cấu). $\square$

 

Định nghĩa. Cho $F: \mathbf{M} \to \mathbf{N}$ là một hàm tử giữa hai phạm trù mô hình.

  • Một hàm tử dẫn xuất trái toàn phần của $F$ là một hàm tử dẫn xuất trái của $\lambda F: \mathbf{M} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$.
  • Một hàm tử dẫn xuất phải toàn phần của $F$ là một hàm tử dẫn xuất phải của $\lambda F: \mathbf{M} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$.

Lạm dụng ký hiệu, ta vẫn viết $\mathbb{L}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$ (tương ứng, $\mathbb{R}F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \to \mathbf{Ho}(\mathbf{N})$) để chỉ hàm tử dẫn xuất trái (tương ứng, phải) toàn phần. Theo định nghĩa, ta có các biến đổi tự nhiên $\mathbb{L}F \circ \lambda \Rightarrow \lambda F$ và $\lambda F \Rightarrow \mathbb{R}F$. Từ đó, nếu $\mathbf{M} \xrightarrow{F} \mathbf{N} \xrightarrow{G} \mathbf{P}$ là các hàm tử sao cho $F$, $G$ và $G \circ F$ đều có dẫn xuất trái (tương ứng, phải) thì ta có biến đổi tự nhiên $\mathbb{L} G \circ \mathbb{L}F \Rightarrow \mathbb{L}(GF)$.

 

Định lý 4.4. Cho $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen giữa hai phạm trù mô hình, khi đó $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \leftrightarrows \mathbf{Ho}(\mathbf{N}) :\mathbb{R}G$ là một cặp liên hợp.

Chứng minh. Từ chứng minh của Mệnh đề 4.3, ta có $\mathbb{L}FA = FQA$ và $\mathbb{R}GX = GRX$, trong đó $Q: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$ và $R: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ lần lượt là hàm tử giải đối phân thớ và giải phân thớ. Ta có song ánh tự nhiên $$\text{Hom}_{\mathbf{N}}(FQA,RX) \cong \text{Hom}_{\mathbf{M}}(QA,GRX).$$

Chú ý rằng $FQA$ là một vật đối phân thớ và $QRX$ là một vật phân thớ. Ta chỉ ra rằng song ánh trên cảm sinh song ánh sau khi lấy đồng luân. Thật vậy, giả sử $f,g: FQA \to RX$ là hai cấu xạ đồng luân. Xét $RY \tilde{\rightarrow} P \twoheadrightarrow RY \times RY$ là một vật đường và $H: FQA \to P$ là một đồng luân phải giữa $f$ và $g$. Vì $G$ bảo toàn phân thớ và giới hạn, ta thu được phân tích $GRY \to GP \twoheadrightarrow GRY \times GRY$ của cấu xạ đường chéo. Mà $RY$ là một vật phân thớ (nên $P$ cũng vậy) và $G$ bảo toàn tương đương yếu giữa các vật phân thớ (Bổ đề Brown) nên phân tích $GRY \tilde{\rightarrow} GP \twoheadrightarrow GRY \times GRY$ là một vật đường của $GRY$. Lấy liên hợp của $H: FQA \to P$, ta thu được $H': QA \to GP$, đây là một đồng luân phải giữa liên hợp của $f$ và $g$. Một cách đối ngẫu, nếu ta có hai cấu xạ đồng luân $QA \to GRX$ thì liên hợp của chúng cũng là hai cấu xạ đồng luân $FQA \to RX$. Vậy ta có song ánh $$[FQA,RX] = \text{Hom}_{\mathbf{N}}(FQA,RX)/\simeq \cong \text{Hom}_{\mathbf{M}}(QA,GRX)\simeq = [QA,GRX].$$

Cuối cùng, theo Định lý cơ bản của phạm trù đồng luân (Định lý 3.17), ta có song ánh tự nhiên $$\text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{N})}(\mathbb{L}F(A),X) = \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{N})}(FQA,X) \cong [FQA,RX] \cong [QA, GRX] \cong \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,GRX) = \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A,\mathbb{R}G(X)).$$ $\square$

 

Mệnh đề 4.5. Nếu $\mathbf{M} \xrightarrow{F} \mathbf{N} \xrightarrow{G} \mathbf{P}$ là các liên hợp Quillen trái giữa các phạm trù mô hình thì biến đổi tự nhiên $\eta: \mathbb{L} G \circ \mathbb{L}F \Rightarrow \mathbb{L}(GF)$.là một đẳng cấu tự nhiên.

Chứng minh. Ta có $\mathbb{L} G (\mathbb{L}F(A)) = \mathbb{L} G(FQA) = GQFQA$, $\mathbb{L}(GF)(A) = GFQA$ (trong đó $Q$ là các hàm tử giải đối phân thớ) và $\alpha_A = \lambda Gp_{FQA}$ (trong đó $p_{FQA}: QFQA \tilde{\twoheadrightarrow} FQA$ là cấu xạ cho bởi phân tích đối phân thớ của $FQA$, và $\lambda: \mathbf{P} \to \mathbf{Ho}(\mathbf{P})$ là cấu xạ địa phương hóa). Mà $FQA$ và $QFQA$ là các vật đối phân thớ nên $Gp_{FQA}$ là một tương đương yếu, hay $\lambda Gp_{FQA}$ là một đẳng cấu trong $\mathbf{Ho}(\mathbf{P})$. $\square$

 

Định lý - Định nghĩa 4.6. Cho $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một cặp liên hợp Quillen giữa hai phạm trù mô hình. Lần lượt ký hiệu bởi $\eta: \mathbf{1}_{\mathbf{M}} \Rightarrow GF$ và $\varepsilon: FG \to \mathbf{1}_{\mathbf{N}}$ các biến đổi đơn vị và đối đơn vị. Các khẳng định sau tương đương.

  1. Cặp liên hợp cảm sinh $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \leftrightarrows \mathbf{Ho}(\mathbf{N}) :\mathbb{R}G$ là các tương đương phạm trù (tựa nghịch đảo lẫn nhau).
  2. Với mọi vật đối phân thớ $A$ trong $\mathbf{M}$ và mọi vật phân thớ $X$ trong $\mathbf{N}$, một cấu xạ $FA \to X$ là một tương đương yếu khi và chỉ khi liên hợp $A \to GX$ của nó cũng vậy.
  3. Với mọi vật đối phân thớ $A$ trong $\mathbf{M}$ và mọi vật phân thớ $X$ trong $\mathbf{N}$, các cấu xạ hợp thành $$A \xrightarrow{\eta_A} GF A \to GRFA, \qquad FQGX \to FGX \xrightarrow{\varepsilon_X} X$$ là các tương đương yếu (trong đó $Q: \mathbf{M} \to \mathbf{M}$ và $R: \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ lần lượt là hàm tử giải đối phân thớ và giải phân thớ).

Khi các điều kiện trên được thỏa mãn, ta nói cặp $F: \mathbf{M} \leftrightarrows \mathbf{N} :G$ là một tương đương Quillen.

Chứng minh. Ta chứng minh $3. \Rightarrow 2. \Rightarrow 1.$

 

$3 \Rightarrow 2.$ Cho $A$ là một đối phân thớ trong $\mathbf{M}$, $X$ là một vật phân thớ trong $\mathbf{X}$ và $f: FA \to X$ là một cấu xạ. Giả sử $f$ là một tương đương yếu. Liên hợp của $f$ là $g = Gf \circ \eta_{A}: A \to GX$. Ta có biểu đồ giao hoán 

21.png

Ở đây $GX \to GRX$ và $GRFA \to GRX$ là các tương đương yếu vì $X \tilde{\hookrightarrow} RX$ và $RFA \tilde{\hookrightarrow} RX$ là các tương đương yếu giữa hai vật phân thớ (chú ý rằng $R$ bảo toàn tương đương yếu theo (MC2)). Ngoài ra, $A \to GRFA$ là một tương yếu theo giả thiết. Vì thế $g = Gf \circ \eta_A$ là một tương đương yếu theo (MC2). Một cách đối ngẫu, nếu $g$ là một tương yếu thì $f$ cũng vậy.

 

$2 \Rightarrow 1$, Ký hiệu $\tilde{\eta}: \mathbf{1}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M}} \Rightarrow \mathbb{R} G \circ \mathbb{L}F$, là biến đổi đơn vị của cặp liên hợp cảm sinh $\mathbb{L} F: \mathbf{Ho}(\mathbf{M}) \leftrightarrows \mathbf{Ho}(\mathbf{N}) :\mathbb{R}G$. Với mỗi vật $A$ trong $\mathbb{M}$, cấu xạ $\tilde{\eta}_A \in \text{Hom}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{M})}(A, \mathbb{R}G(\mathbb{L}F(A))) = [QA,GRFQA]$ là liên hợp của (lớp đồng luân của) cấu xạ $FQA \tilde{\hookrightarrow} RFQA$. Đây là một đối phân thớ acyclic giữa hai vật đối phân thớ ($FQA$ là một vật đối phân thớ nên $RFQA$ cũng vậy), do đó $\tilde{\eta}_A$ là lớp đồng luân của một tương đương yếu (theo giả thiết), nghĩa là một đẳng cấu. Tương tự, biến đổi đối đơn vị $\tilde{\varepsilon}: \mathbb{L} F \circ \mathbb{R}G \Rightarrow \mathbf{1}_{\mathbf{Ho}(\mathbf{N})}$ là một đẳng cấu tự nhiên.

 

$1 \Rightarrow 3.$ Giả sử $A$ là một vật đối phân thớ trong $\mathbf{M}$. Ta có biểu đồ giao hoán

22.png

Theo giả thiết, cấu xạ đơn vị $QA \to GRFQA$ là trở thành đẳng cấu trong phạm trù dẫn xuất, tức là một tương đương yếu. Vì $QA \to A$ là một tương đương yếu giữa hai vật đối phân thớ nên $FQA \to FA$ là một tương đương yếu, suy ra $RFQA \to RFA$ cũng vậy (theo (MC2)). Mà $RFQA$ và $RFA$ là các vật phân thớ nên $GRFQA \to GRFA$ là một tương đương yếu. Theo (MC2) thì $A \to GRFA$ là một tương đương yếu. Một cách đối ngẫu, nếu $X$ là một vật phân thớ trong $\mathbf{N}$ thì $FQGX \to X$ là một tương đương yếu. $\square$

 

Ví dụ 4.7. Cho $R$ là một vành. Hàm tử đồng nhất trên $\mathbf{Ch}(R)$ là một tương đương Quillen giữa mô hình xạ ảnh ở bên trái và mô hình nội xạ ở bên phải.

 

Ví dụ 4.8. Ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình, ta đã xây dựng cặp liên hợp $$|-|: \mathbf{sSet} \leftrightarrows \mathbf{Top}: \text{Sing}_\bullet$$ giữa hàm tử hình học hóa trên các tập đơn hình và hàm tử phức kỳ dị. Đây là một tương đương Quillen, trong đó

  • cấu trúc mô hình trên $\mathbf{sSet}$: các tương đương yếu là các ánh xạ đơn hình với hình học hóa là tương đương đồng luân yếu, các đối phân thớ là các phép bao hàm, các phân thớ là các phân thớ Kan (các ánh xạ đơn hình thỏa mãn tính chất nâng phải đối với các phép bao hàm $\Lambda^n_k \hookrightarrow \Delta^n$ của các sừng trong đơn hình chuẩn);
  • cấu trúc mô hình trên $\mathbf{Top}$ là cấu trúc Quillen: các tương đương yếu là các tương đương đồng luân yếu, các đối phân thớ là rút gọn của các phép bao hàm của CW-phức suy rộng, các phân thớ là các phân thớ Serre.(Ví dụ 2.4).

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

 

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đồng luân, đại số đồng điều, tô-pô đại số, lý thuyết phạm trù

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh