Khái niệm phạm trù mô hình (model category) được đưa ra bởi Quillen năm 1967, trong nỗ lực tổng quát hóa đại số đồng điều thành lý thuyết đồng luân cho các đối tượng không abel như không gian tô pô, nhóm, đại số trên một vành... Ngôn ngữ phạm trù mô hình và khái niệm đồng luân tổng quát là một phần quan trọng trong K-lý thuyết đại số cũng như hình học đại số.
Một phần của lý thuyết phạm trù mô hình và đồng luân là lý thuyết đồng luân đơn hình đã được viết ở bài https://diendantoanh...g-luân-đơn-hình.
Chúng ta sẽ trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết này.
1. Ví dụ: Không gian tô pô và phức dây chuyền
Xét phạm trù $\mathbf{Top}$ các không gian tô pô.
Nhắc lại rằng hai ánh xạ liên tục $f, g: X \to Y$ được gọi là đồng luân nếu tồn tại ánh xạ liên tục $H: X \times [0,1] \to Y$ sao cho $H(-,0) = f$ và $H(-,1) = g$ (một phép đồng luân giữa $f$ và $g$). Khi đó, ta ký hiệu $f \simeq g$.
Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ liên tục $f: X \leftrightarrows Y: g$ sao cho $fg \simeq 1_Y$ và $gf \simeq 1_X$. Khi đó, ta ký hiệu $X \simeq Y$.
Nếu $(X,x)$ và $(Y,y)$ là các không gian định điểm, ta ký hiệu hởi $[(X,x), (Y,y)]$ thương của tập hợp các ánh xạ định điểm $(X,x) \to (Y,y)$ bởi quan hệ đồng luân định điểm (một phép đồng luân định điểm $H$ giữa hai ánh xạ định điểm là một phép đồng luân sao cho $H(-,t)$ là ánh xạ định điểm với mọi $t \in [0,1]$). Với $n \ge 0$, Ký hiệu bởi $\pi_n(X,x) = [(\mathbb{S}^n,\ast),(X,x)]$. Ta có các hàm tử $\pi_n: \mathbf{Top}_\ast \to \mathbf{Set}$, hơn nữa $\pi_1$ là nhóm và $\pi_n$ là nhóm abel với $n \ge 2$.
Mệnh đề 1.1. Nếu $f: X \to Y$ là một tương đương đồng luân thì $\pi_0(f): \pi_0(X,x) \to \pi_0(Y,f(x))$ là một song ánh, và với mọi $x \in X$ cũng như $n \ge 1$ thì $\pi_n(f): \pi_n(X,x) \to \pi_n(Y,f(x))$ là một đẳng cấu nhóm.
Định nghĩa. Một tương đương đồng luân yếu là một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ sao cho các ánh xạ cảm sinh $\pi_n(f)$ thỏa mãn các điều kiện ở mệnh đề trên. Ta ký hiệu tương đương đồng luân yếu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai không gian $X$ và $Y$ được gọi là tương đương yếu nếu tồn tại các tương đương đồng luân yếu $$X \tilde{\leftarrow} X_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} X_n \tilde{\rightarrow} Y.$$
Hiển nhiên, hai không gian tương đương yếu thì các nhóm đồng luân tương ứng đẳng cấu.
Trong các không gian tô pô, các CW-phức (hoặc các phức đơn hình...) đóng vai trò như những mô hình tổ hợp để tính toán các nhóm đồng luân. Thực tế, ta chỉ cần quan tâm đến lý thuyết đồng luân của chúng, nhờ vào các định lý sau đây.
Định lý 1.2. Với mỗi không gian tô pô $X$, tồn tại một CW-phức $Z$ và một tương đương đồng luân yếu $Z \to \tilde{\rightarrow} X$.
Định lý 1.3 (Xấp xỉ CW). Mỗi ánh xạ liên tục giữa hai CW-phức đều đồng luân với một ánh xạ phân phân ngăn.
Hơn nữa, để nói về tương đương đồng luân giữa các CW-phức, ta chỉ cần quan tâm đến tương đương yếu, nhờ
Định lý 1.4 (Whitehead). Mỗi tương đương đồng luân yếu giữa hai CW-phức là một tương đương đồng luân.
Mục đích của khái niệm phạm trù mô hình là cho phép, trong một phạm trù bất kỳ, nói về:
- thế nào là "giống nhau sai khác đồng luân" (tương đương đồng luân) giữa hai vật;
- thế nào là một phép đồng luân, một tương đương đồng luân;
- những vật nào là đủ "tốt" (những "mô hình") mà trên đó ta chỉ cần quan tâm đến các tương đương đồng luân yếu.
Một phạm trù khác nơi ta có thể làm lý thuyết đồng luân là phạm trù các phức dây chuyền (đồng luân ở đây được biến đến dưới dạng đại số đồng điều). Cho $R$ là một vành. Xét phạm trù $\mathbf{Ch}_{\ge 0}(R)$ các phức dây chuyền (chiều của vi phân là chiều giảm) các $R$-môđun tập trung ở bậc không âm.
Một phép đồng luân dây chuyền giữa hai ánh xạ dây chuyền $f, g: A \to B$ là một dãy các đồng cấu $h: A_n \to B_{n+1}$ sao cho $f - g = hd + dh$. Khi $h$ tồn tại, ta nói $f$ và $g$ đồng luân và ký hiệu $f \simeq g$.
Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tương đương đồng luân nếu tồn tại các ánh xạ dây chuyền $f: A \leftrightarrows B: g$ sao cho $fg \simeq 1_B$ và $gf \simeq 1_A$. Khi đó, ta ký hiệu $A \simeq B$.
Mệnh đề 1.5. Nếu $f: A \to B$ là một tương đương đồng luân thì nó cảm sinh đẳng cấu $H_n(f): H_n(A) \to H_n(B)$ với mỗi $n \ge 0$.
Định nghĩa. Một tựa đẳng cấu là một ánh xạ dây chuyền $f: A \to B$ sao cho $H_n(f)$ là một đẳng cấu với mỗi $n \ge 0$. Ta ký hiệu tựa đẳng cấu bởi $\tilde{\rightarrow}$. Hai phức dây chuyền $A$ và $B$ được gọi là tựa đẳng cấu nếu tồn tại các tựa đẳng cấu $$A \tilde{\leftarrow} A_1 \tilde{\rightarrow} \cdots \tilde{\leftarrow} A_n \tilde{\rightarrow} B.$$
Hiển nhiên, hai phức tựa đẳng cấu thì các nhóm đồng điều tương ứng đẳng cấu.
Nhắc lại rằng một $R$-môđun $P$ được gọi là xạ ảnh nếu hàm tử $\text{Hom}_R(P,-): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (bảo toàn toàn cấu). Một $R$-môđun $I$ được gọi là nội xạ nếu hàm tử $\text{Hom}_R(-,I): {}_R\mathbf{Mod} \to \mathbf{Ab}$ khớp (biến đơn cấu thành toàn cấu).
Mệnh đề 1.6. Cho $f: A \to B$ là một tựa đẳng cấu giữa hai phức tập trung ở bậc không âm. Nếu $A$ nội xạ ở mọi bậc hoặc $B$ xạ ảnh ở mọi bậc thì $f$ là một tương đương đồng luân.
Như vậy, nếu muốn làm đại số đồng điều trong đó các phức sai khác tựa đẳng cấu, ta có hai mô hình:
- mô hình "xạ ảnh", nơi các vật "tốt ở nguồn" là các môđun xạ ảnh, và mọi vật đều "tốt ở đích". Mỗi $R$-môđun đều có một giải xạ ảnh $P_{\bullet} \to M$, nó đóng vai trò như các CW-phức cho các không gian tô pô.
- mô hình "nội xạ", nơi mọi vật đều "tốt ở nguồn" và các vật "tốt ở đích" là các môđun nội xạ. Mỗi $R$-môđun đều có một giải nội xạ $M \to I_{\bullet}$, nó đóng vai trò đối ngẫu so với các CW-phức cho các không gian tô pô.
Một trong những mục tiêu của lý thuyết đồng luân của Quillen là tổng quát hóa khái niệm "giải" ở trên cho các phạm trù không abel.
Ta nhắc lại về dãy khớp dài. Giả sử $0 \to A \xrightarrow{i} B \xrightarrow{p} C \to 0$ là một dãy khớp ngắn các phức dây chuyền, khi đó ta có dãy khớp dài $$\cdots \to H_n(A) \xrightarrow{i_\ast} H_n(B) \xrightarrow{p_\ast} H_n(C) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \to \cdots \to H_0(C) \to 0,$$ trong đó $\partial$ là các đồng cấu nối. Có hai cách xây dựng các đồng cấu nối.
- Ta có thể xét ánh xạ dây chuyền $i: A \to B$ tùy ý (không nhất thiết là đơn cấu). Nón (cone) của $i$ là phức $C(i)$ cho bởi $B_n \oplus A_{n-1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,a) = (d(b) + i(a), d(a))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $C$ bởi $C(i)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu $C(i) \to A[-1]$. Khi $i$ là đơn cấu, ta kiểm tra được rằng $C(i)$ tựa đẳng cấu với $C$.
- Ta cũng có thể xét ánh xạ dây chuyền $p: B \to C$ tùy ý (không nhất thiết là toàn cấu). Thớ đồng luân (homotopy fiber) của $p$ là phức $K(p)$ cho bởi $B_n \oplus C_{n+1}$ ở bậc $n$ và vi phân $d(b,c) = d(b), p(b) + d(c))$. Khi đó ta có dãy khớp dài ở trên khi thay $A$ bởi $K(p)$. Đồng cấu nối $\partial$ được cảm sinh từ phép chiếu nhúng $C[1] \to K(p)$. Khi $p$ là toàn cấu, ta kiểm tra được rằng $K(p)$ tựa đẳng cấu với $A$.
Để xây dựng dãy khớp dài cho các nhóm đồng luân của các không gian tô pô, ta cần các khái niệm tương tự (theo nghĩa đồng luân) với khái niệm đơn cấu và toàn cấu của phức dây chuyền. Đó là khái niệm (đối) phân thớ.
Định nghĩa 1.7. Một phân thớ Hurewicz là một ánh xạ liên tục $p: E \to B$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán
$H$ có thể nâng thành một ánh xạ liên tục $\tilde{H}$. Nói cách khác, nếu ta có một phép đồng luân $H: X \times [0,1] \to B$ giữa hai ánh xạ liên tục $f,g: X \to B$ và một nâng $\tilde{f}: X \to E$ của $f$, thế thì ta có thể nâng $H$ thành một phép đồng luân giữa $\tilde{f}$ và một nâng $\tilde{g} = \tilde{H}(-,1)$ của $g$.
Mệnh đề 1.8. Kéo lùi của một phân thớ Hurewicz là một phân thớ Hurewicz.
Ví dụ 1.9. Cho $f: X \to Y$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa không gian đường của $f$ bởi $$P_f = Y^{[0,1]} \times_Y X = \{(\gamma,x) \,|\, \gamma: [0,1] \times X, x \in X, \gamma(0) = f(x)\},$$ trong đó tô pô trên $Y^{[0,1]}$ là tô pô compact-mở. Thế thì ánh xạ $\text{ev}_1: P_f \to Y$ cho bởi $\text{ev}_1(\gamma,x) =\gamma(1)$ là một phân thớ Hurewicz. Hơn nữa, ta có phân tích $X \tilde{\hookrightarrow} P_f \xrightarrow{\text{ev}_1} Y$ - nghĩa là có thể phân tích mọi ánh xạ liên tục thành hợp của một phân thớ và một tương đương đồng luân yếu.
Mệnh đề 1.10. Cho $p: E \to B$ là một phân thớ với $B$ liên thông đường. Khi đó các thớ $E_b = p^{-1}(b)$ (với $b \in B$) tương đương đồng luân. Nếu ta lấy $b_0 \in B$, $F = p^{-1}(b_0)$ và $f_0 \in F$ thì ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(F,f_0) \to \pi_n(E,f_0) \to \pi_n(B,b_0) \to \pi_{n-1}(F,f_0) \to \cdots$$
Một cách đối ngẫu, ta có
Định nghĩa 1.11. Một đối phân thớ (Hurewicz) là một ánh xạ liên tục $i: A \to X$ sao cho trong mọi biểu đồ giao hoán
$h$ có thể mở rộng thành một ánh xạ liên tục $H$. Nói cách khác, nếu ta có một ánh xạ liên tục $f: X \to Y$ và một phép đồng luân giữa $h$ "hạn chế" $f \circ i = f|_A$ và một ánh xạ khác $g: A \to Y$, thì ta có thể mở rộng $h$ lên cả $X$.
Mệnh đề 1.12. Một đối phân thớ $i: A \to X$ cảm sinh một phép đồng phôi $i: A \to i(A)$. Nếu $X$ Hausdorff thì $i(A)$ đóng.
Ví dụ 1.13. Phép bao hàm của một CW-phức con trong một CW-phức là một đối phân thớ.
Ví dụ 1.14. Cho $f: A \to X$ là một ánh xạ liên tục. Ta định nghĩa hình trụ của $f$ bởi $$C_f = (A \times [0,1] \sqcup X) / \left\langle(a,0) \sim f(a): a \in A \right\rangle.$$ Ta có phân tích của $f$ thành hợp của một tương đương đồng luân yếu và một đối phân thớ $A \hookrightarrow C_f \tilde{\rightarrow} X$.
Cho hai ánh xạ liên tục $f,g: A \to X$. Nhận xét rằng, với $\gamma = (1_A,1_A): A \sqcup A \to A$ là ánh xạ hiển nhiên, cho một phép đồng luân giữa $f$ và $g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $H: C_\gamma \to Y$ sao cho hợp $A \sqcup A \to C_f \to X$ chính là ánh xạ $(f,g)$. Một cách đối ngẫu, xét $\delta = (1_X,1_X): X \to X \times X$ là ánh xạ đường chéo. Thế thì cho một ánh xạ liên tục $H: X \to P_\delta$ sao cho $\text{ev}_0 \circ H = f$ và $\text{ev}_1 \circ H = g$ cũng là cho một ánh xạ liên tục $u: A \to X$ cùng hai phép đồng luân $f \simeq u \simeq g$.
Định nghĩa. Cho $(X,A)$ là một cặp không gian và $a \in A$. Ta định nghĩa các tập hợp đồng luân tương đối $\pi_n(X,A)$ (với $n \ge 1$) là thương của tập hợp các ánh xạ liên tục $\gamma: [0,1]^n \to X$ sao cho $\gamma(\partial [0,1]^n) \subset A$ và $\gamma(\partial [0,1]^n \setminus ([0,1]^{n-1} \times \{0\})) \subset A = \{a\}$ sai khác đồng luân tương đối $A$. Đó là một nhóm với $n \ge 2$ và là một nhóm abel với $n \ge 3$.
Mệnh đề 1.15. Ta có dãy khớp dài các nhóm đồng luân $$\cdots \to \pi_n(A) \to \pi_n(X) \to \pi_n(X,A) \to \pi_{n-1}(A) \to \cdots$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 31-01-2023 - 18:59