Chủ đề này có 3 trả lời

[Mawatari Tanaka]

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a,b)$ thỏa mãn $a^2-ab+b^2$ là ước của $2b^2+ab$.

[DOTOANNANG]

https://diendantoanh...b2/#entry737082

Hơn nữa

$$\left ( a, b \right )\mapsto\left ( a+ b, -b \right )\quad\Leftrightarrow\quad\left ( 2b+ a \right )b= 0$$

[chuyenndu]

ý của DOTOANNANG là sao nhỉ?

[supermember]

Không ngờ là phương pháp sử dụng ở đây : https://diendantoanh...ố-chính-phương/ lại hữu dụng như vậy, đem áp dụng vào bài này giải được liền.

 

Thật vậy, giả sử $(a; b)$ là cặp số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

dễ thấy là phải tồn tại số nguyên dương $k$ sao cho: $ k = \frac{2b^2 +ab}{a^2 - ab+ b^2}$

 

$ \Leftrightarrow ka^2 - kab+kb^2 = 2b^2 +ab  \Leftrightarrow  ka^2 - (k-1)ba +(k-2)b^2 = 0 \ (*)$

 

Ta coi $(*)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $a$, thì từ công thức tính nghiệm phương trình bậc $2$ : $ a_{1;2} = \frac{ (k-1)b \pm \sqrt{\triangle}}{2k}$ ta dễ thấy là để có nghiệm $a$ là số nguyên thì điều kiện cần là biệt số $\triangle$ phải là số chính phương.

 

$ \triangle = (k-1)^2 b^2 - 4k(k-2) b^2 = b^2 \cdot ( 1+6k-3k^2)$ là số chính phương khi và chỉ khi $ ( 1+6k-3k^2)$ là số chính phương.

 

Do với $ k \geq 3$ thì $ 1+ 6k-3k^2 = 1 - 3k(k-2) \leq  1 - 6 < 0$ nên chỉ có thể xảy ra trường hợp $ k \in \{1; 2 \}$

 

Trường Hợp $1$: $ k =1$ thì   : $ 2b^2 +ab =a^2 - ab+ b^2  \Leftrightarrow (a-b)^2 = 2b^2 \ (**)$

 

Rõ ràng nhận xét là $ a \neq b$ do $2b^2$ là số nguyên dương.

 

Tuy nhiên, Đẳng thức $(**)$ này cũng không bao giờ xảy ra do : $ 2 | v_2 ((a-b)^2) $ trong khi $ 2 \ \not | v_2 ( 2b^2)$ . Nên ta loại được trường hợp này.

 

Trường hợp $2$: $ k=2$ thì  $ 2b^2 +ab =2a^2 - 2ab+ 2b^2  \Leftrightarrow 2a = 3b$

 

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = 3m & \\ b=2m \end{matrix}\right.$ . Trong đó $m $ là số nguyên dương tùy ý.

 

Thử lại thấy thỏa mãn.

 

Kết luận: Tất cả các cặp số $(a;b)$ thỏa yêu cầu bài toán là các cặp số dạng $ (3m; 2m)$ trong đó $m$ là số nguyên dương tùy ý.

 

Bài Toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 16-03-2023 - 14:04