Chủ đề này có 1 trả lời

[VHTuan]

Cho các số thực a,b,c thuộc đoạn [0;1] thoả$a+b+c\geq 1$ tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=$\sum \frac{24}{ab+1}-5(3a+3b+3c-7)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VHTuan: 06-02-2023 - 10:53

[VHTuan]

Từ giả thiết ta có$\\2=a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\geq -2(ab+bc+ca) \\\Rightarrow ab+bc+ca \geq-1 (1)$

Đặt $a-b=x; b-c=y; c-a=z$ thì $x+y+z=0$. Ta có

$\\ xy= ab-ac-b^2+bc,\\ yz=bc-ab-c^2+ac,\\ zx=ac-a^2-bc+ab$, suy ra $ab+bc+ca=xy+yz+zx+2$ (2)

Từ (1) suy ra $xy+yz+zx\geq -3$

 Có $\\ P=x^3+y^3+z^3-(xy+yz+zx+2)=-(y+z)^3+y^3+z^3-yz+(y+z)^2-2 \\=-3yz(y+z)-yz+(y+z)^2-2$.

Không mất tính tổng quát, giả sử y và z nằm cùng phía với số 0 trên trục số, khi đó $yz\geq 0$

Kết hợp (2) và điều kiện $x+y+z=0$ ta suy ra $(y+z)^2\leq xy+3$. Sử dụng bất đẳng thức $yz\leq \frac{(y+z)^2}{4}$ ta nhận được $y+z\leq 2$ và $yz\leq 1$

Vì vậy $-3yz(y+z)-yz+(y+z)^2-2\geq -3yz.(2)+3yz-2 \geq -5$

Đẳng thức xảy ra khi $y=z=1,x=-2$ tức $(a,b,c)=(-1,1,0)$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng -5, đạt được khi $(a,b,c)=(-1,1,0)$ hoặc $(0,-1,1)$ hoặc $(1,0,-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VHTuan: 21-03-2023 - 11:30