Chủ đề này có 5 trả lời

[Matthew James]

Cho $x,y,z\in [1;2]$ có tổng bằng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của  $A=x^2+y^2+z^2$ và $B=x^3+y^3+z^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 06-02-2023 - 18:23
Tiêu đề & LaTeX

[Matthew James]

$MaxA$:

Đặt $x=a+1;y=b+1;z=c+1$

Suy ra $a,b,c\in[0;1]$ và $a+b+c=2$

$0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2\leq a;b^2\leq b;c^2\leq c$

$A=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=a^2+b^2+c^2+7\leq a+b+c+7=9$

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị

[Matthew James]

$MaxB$:

Đặt x=a+1;y=b+1;z=c+1

 

Suy ra a,b,c∈[0;1] và a+b+c=2

0≤a,b,c≤1⇒$a^3\leq a^2\leq a$

 

$B=(a+1)^3+(b+1)^3+(c+1)^3=a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c+3\leq 7(a+b+c)+3=17$

 

Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(1,2,2)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Matthew James: 06-02-2023 - 16:20

[perfectstrong]

Một cách đơn giản hơn chút để tìm max là từ điều kiện $x \in [1;2]$ ta có $(x-1)(x-2) \le 0 \Leftrightarrow x^2 \le 3x - 2$. Nên

\[A = \sum {{x^2}}  \leqslant 3\sum x  - 6 = 9\]

Tương tự: \[{x^3} \leqslant 3{x^2} - 2x \Rightarrow B = \sum {{x^3}}  \leqslant 3\sum {{x^2}}  - 2\sum x  \leqslant 17\]

 

Còn min thì dùng Cauchy-Schwarz và Holder:

\[\begin{gathered}
  A = \sum {{x^2}} \mathop  \geqslant \limits^{CS} \frac{1}{3}{\left( {\sum x } \right)^2} = \frac{{25}}{3} \hfill \\
  B = \sum {{x^3}} \mathop  \geqslant \limits^H \frac{1}{9}{\left( {\sum x } \right)^3} = \frac{{125}}{9} \hfill \\
\end{gathered} \]

[perfectstrong]

Giờ chúng ta thử mở rộng ra một chút

 

Mở rộng 1: Cho 3 số $x,y,z \in [1;2]$ sao cho $x + y +z = 5$. Tìm min, max của $A_n=x^n+y^n+z^n$ với $n \in \mathbb N, n\ge 2$.

 

Mở rộng 2: Cho 2 số thực $L_2 > L_1 \ge 0$ và 3 số $x,y,z \in [L_1,L_2]$ sao cho $x + y +z = S$ với $S \in [3L_1, 3L_2]$. Tìm min, max của $A=x^2+y^2+z^2$ và $B=x^3+y^3+z^3$.

 

Mở rộng 3: Cho $x,y,z \in [-1;2]$ có $x+y+z=1$. Tìm min, max của $A=x^2+y^2+z^2$ và $B=x^3+y^3+z^3$.

[perfectstrong]

CM mở rộng 1: Ta sử dụng quy nạp để chứng minh GTLN rằng $A_n \le 2^{n+1} - 1 \, \forall n \ge 2 \, (1)$. Ta đã chứng minh được (1) đúng tới $n=3$.

Giả sử (1) đúng tới $n=k$, ta chứng minh (1) cũng đúng tói $n=k+1$. Thật vậy:

\[\begin{gathered}
  {x^{n - 2}}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow {x^n} \leqslant 3{x^{n - 1}} - 2{x^{n - 2}}\forall n \geqslant 2 \hfill \\
   \Rightarrow {A_n} \leqslant 3{A_{n - 1}} - 2{A_{n - 2}}\forall n \geqslant 2 \hfill \\
   \Rightarrow \sum\limits_{n = 2}^{k + 1} {{A_n}}  \leqslant 3{A_k} - 2{A_{k - 1}} + 3{A_{k - 1}} - 2{A_{k - 2}} + ... + 3{A_1} - 2{A_0} = 3{A_k} + {A_{k - 1}} + {A_{k - 2}} + ... + {A_1} - 2{A_0} \hfill \\
   \Rightarrow {A_{k + 1}} \leqslant 2{A_k} + {A_1} - 2{A_0} = 2{A_k} - 1 \leqslant {2^{n + 1}} + 1 \hfill \\
\end{gathered} \]

Vậy (1) đúng với mọi $n \ge 2$.

 

Còn GTNN thì chỉ cần dùng Holder: \[{A_n} \geqslant \frac{1}{{{3^{n - 1}}}}A_1^n = \frac{{{5^n}}}{{{3^{n - 1}}}}\]