Đến nội dung

Hình ảnh

Lý thuyết phạm trù vô cực mang lại tầm nhìn “từ trên xuống” cho toán học

* * * * * 1 Bình chọn đại số phạm trù phạm trù vô cực tô pô đồng luân

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 165 Bài viết

THÔNG TIN CHUNG

  • Bài viết gốc: Infinity Category Theory Offers a Bird’s-Eye View of Mathematics, đăng trên Scientific American, Volume 325, Issue 4, October 2021. https://www.scientif...f-mathematics1/
  • Tác giả: Giáo sư Emily Riehl, Johns Hopkins University, chuyên gia về lý thuyết phạm trù bậc cao và lý thuyết đồng luân, các công trình của cô liên quan đến phạm trù mô hình và nền tảng của lý thuyết phạm trù vô cực.
  • Hình vẽ: Họa sĩ Matteo Farinella.
  • Người dịch: Nguyễn Mạnh Linh, Université Paris-Saclay.

 

Một ngày thu ở New England, khi còn là sinh viên năm ba, tôi đi ngang qua một ga tàu điện ngầm và một bài toán đã lọt vào mắt tôi. Một người đàn ông cùng những ý tưởng được vẽ nguệch ngoạc trên tường, một trong số đó là bài toán dựng một hình lập phương với thể tích gấp đôi một hình lập phương khác cho trước, bằng thước thẳng và compa. 
 
Điều này làm tôi phải dừng lại. Tôi đã thấy bài toán này trước đây, đó là một câu đố từ hơn hai thiên thiên kỷ trước, mà theo Plutarch thì tác giả là Plato. Một thanh thước thẳng (lý tưởng) cho phép kéo dài một đoạn thẳng theo cả hai hướng, và một chiếc compa cho phép vẽ một đường tròn với bán kính tùy ý và tâm cho trước. Cái khó của câu đố này là các điểm và độ dài được dựng ra sau cùng hoặc phải có từ đầu, hoặc phải được dựng từ những thông tin trước đó.
 
Để gấp đôi thể tích của hình lập phương, ta bắt đầu với độ dài cạnh của nó. Ta hoàn toàn có thể xem độ dài này là $1$ vì đó là độ dài duy nhất được cho trước. Để dựng hình lập phương lớn, ta cần tìm cách dựng cạnh của nó với độ dài yêu cầu, ở đây là $\sqrt[3]{2}$, mà chỉ dùng thước thẳng và compa.
 
Đây là một bài toán khó. Không ai giải được nó sau hơn 2000 năm. Cuối cùng thì, vào năm 1837, Pierre Laurent Wantzel đã giải thích tại sao chưa ai thành công, bằng cách chứng minh rằng bài toán không có lời giải. Chứng minh của ông sử dụng thứ toán học tối tân bấy giờ, được đặt nền móng bởi nhà toán học Pháp đương đại Évariste Galois, người đã chết ở tuổi 20 trong một cuộc đấu súng mà có lẽ là vì một drama ngoại tình. Cũng ở tuổi 20, bản thân tôi không đạt được những thành tựu toán học ấn tượng như vậy, nhưng ít nhất tôi cũng hiểu được chứng minh của Wantzel.
 
Ý tưởng như sau: Cho trước một điểm làm gốc và một đoạn với độ dài $1$, ta dễ dàng dựng được tất cả các điểm trên trục số với tọa độ hữu tỉ (tất nhiên ta đã lờ đi, như các nhà toán học hay làm, sự thật rằng ta không thể vẽ vô hạn điểm trong thời gian hữu hạn).
 
Wantzel đã chứng minh rằng, chỉ bằng những công cụ trên, mỗi điểm mới dựng phải là nghiệm của một phương trình đa thức bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$ với các hệ số $a, b, c$ thu được từ các điểm đã dựng trước đó. Tuy nhiên, điểm $\sqrt[3]{2}$ lại là nghiệm của phương trình đa thức bậc ba $x^3 - 2 = 0$, và lý thuyết mở rộng trường của Galois đã chứng minh một cách thuyết phục rằng bạn không thể thu được nghiệm của một đa thức bất khả quy bậc ba chỉ bằng cách giải các phương trình bậc hai, về cơ bản là vì $3$ không phải là lũy thừa của $2$.
 
saw1021Rieh31_d.png
 
Với vũ khí đầy mình, tôi không kìm được mà lại gần người đàn ông trên đường. Đúng như dự đoán, nỗ lực giải thích, rằng vì sao tôi biết bài toán này không có lời giải, đã không đi tới đâu cả. Ngược lại, người đàn ông tuyên bố rằng những gì được dạy đã khiến tôi trở nên bảo thủ và không thể mở mang cái đầu ra. Sau cùng, bạn gái đã kéo được tôi khỏi cuộc tranh cãi và chúng tôi tiếp tục đi.
 
Nhưng vẫn còn đó một câu hỏi thú vị: Tại sao tôi, một đứa sinh viên năm ba vắt mũi chưa sạch, lại có thể học được cách dễ dàng thao túng các hệ thống số trừu tượng như các trường Galois chỉ trong vài tuần? Phần cuối của lớp học đó gồm nhóm đối xứng, vành đa thức và các cấu trúc liên quan, những thứ có lẽ sẽ làm đau đầu cả những người khổng lồ như Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Leonhard Euler hay Carl Friedrich Gauss. Tại sao các nhà toán học lại có thể dạy cho các thế hệ sinh viên sau những khám phá làm kinh động cả những chuyên gia ở thế hệ trước?
 
saw1021Rieh32_d(1).png
 
Một phần câu trả lời đến từ những tiến bộ gần đây của toán học, thứ mang lại một cái nhìn từ trên xuống, thông qua các cấp độ trừu tượng ngày càng tăng. Lý thuyết phạm trù là một nhánh toán học giải thích khi nào những đối tượng toán học khác nhau được coi là như nhau. Định lý cơ bản của nó nói rằng bất kỳ đối tượng nào, bất kể phức tạp ra sao, đều hoàn toàn xác định khi biết quan hệ của nó với các đối tượng tương tự. Nhờ lý thuyết phạm trù, chúng ta dạy các nhà toán học trẻ những ý tưởng mới nhất bằng những quy tắc tổng quát có thể áp dụng cho những phạm trù khác nhau của toán học, thay vì đào sâu vào những quy luật đặc trưng chỉ áp dụng được trong một lĩnh vực đơn lẻ.
 
Khi toán học liên tục tiến hóa, cảm nhận của các nhà toán học về sự như nhaucủa hai vật cũng mở rộng theo. Trong vài thập kỷ vừa qua, tôi cùng nhiều nhà nghiên cứu đang phát triển lý thuyết phạm trù để hợp lý hóa khái niệm duy nhấtmới này. Những phạm trù mới, gọi là phạm trù vô cực ($\infty$-phạm trù), đã mở rộng lý thuyết phạm trù lên vô hạn chiều. Ngôn ngữ $\infty$-phạm trù mang lại cho các nhà toán học những công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu những bài toán mà quan hệ giữa các vật quá rắc rối để có thể định nghĩa bằng phạm trù cổ điển. Góc nhìn thu nhỏ đến vô hạnnày mang lại một cách nghĩ mới mẻ cho những khái niệm cũ cũng như một con đường để khám phá những khái niệm mới.

 

 

 

PHẠM TRÙ

 

Giống như nhiều đồng nghiệp của mình, tôi bị toán học lôi cuốn phần vì trí nhớ tệ của mình. Điều này có thể làm nhiều người bối rối khi họ nhớ rằng môn toán ở phổ thông là một mớ công thức phải thuộc  các đẳng thức lượng giác chẳng hạn. Nhưng tôi lại thấy chúng rất dễ chịu vì hầu hết những công thức thường dùy đều có thể rút ra từ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, đẳng thức mà tự thân nó có một kiến giải hình học tao nhã: đó chỉ là hệ quả trực tiếp của định lý Pythagore cho tam giác vuông với cạnh huyền bằng 1 và một góc nhọn bằng $\theta$.

 
Viễn cảnh toán học lý tưởng này, nơi mà mọi thứ đều hợp lý và chẳng cần ghi nhớ gì hết, đã phần nào đó sụp đổ ở cấp đại học. Lúc này, sinh viên được biến đến một rổ đối tượng toán học được triệu hồi từ vài thế kỷ trước. Nhómvành và trường thuộc về lĩnh vực toán học được gọi là Đại số, một từ có nguồn gốc từ cuốn sách viết ở thế kỷ IX bởi nhà toán học, thiên văn học Ba Tư Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, mà tựa sách dịch ra đại khái là "Khoa học của phục hồi và cân bằng". Suốt thiên niên kỷ sau đó, đại số đã tiến hóa từ việc nghiên cứu bản chất nghiệm của các hệ phương trình đa thức thành nghiên cứu các hệ thống số trừu tượng. Vì không có số thực $x$ nào thỏa mãn phương trình $x^2+1 = 0$, các nhà toán học đã tạo ra một hệ thống số mới  mà ngày nay gọi là số phức  bằng cách thêm một số ảo $i$ và quy định rằng $i^2+1 = 0$.
 
Đại số chỉ là một trong nhiều môn học ở chương trình toán đại học. Những môn cơ bản khác gồm Tôpô học  nghiên cứu trừu tượng về các không gian  và Giải tích, môn học bắt đầu với việc chặt chẽ hóa các tính toán trên hàm thực, trước khi rẽ sang những miền đất xa lạ hơn như không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, đa tạp phức hay hàm chỉnh hình. Làm sao để sinh viên có thể thấy tất cả chúng đều hợp lý?
 
saw1021Rieh33_d.png
 
Một ý tưởng toán học nghe có vẻ mâu thuẫn là đơn giản hóa bằng cách trừu tượng hóa. Như Eugenia Cheng đã viết trong The Art of Logic in an Illogical World(Nghệ thuật của logic trong một thế giới phi logic), một trong những sức mạnh của trừu tượng hóa là nhiều bối cảnh khác nhau trở nên giống nhau khi bạn quên đi một số chi tiết.Đại số hiện đại được tạo ra đầu thế kỷ XX khi các nhà toán học quyết định thống nhất nghiên cứu của họ trên nhiều ví dụ khác nhau về các cấu trúc đại số xuất hiện khi xem xét nghiệm của các hệ phương trình đa thức hay các cấu hình trong mặt phẳng. Để liên kết việc tìm hiểu các cấu trúc này, họ xác định các tiên đề” mô tả những tính chất chung của chúng. Nhóm, vành và trường đã được đưa vào thế giới toán học, cùng ý tưởng rằng một đối tượng toán học có thể được mô tả bằng những tính chất nó có và được khám phá một cách trừu tượng, không phụ thuộc vào bối cảnh của những ví dụ hay xây dựng cụ thể.
 
John Horton Conway đã có một suy nghĩ nổi tiếng về bản thể luận kỳ lạ của các sự vật toán học: Chúng chắc chắn có tồn tại, nhưng bạn không thể động chạm gì mà chỉ có thể nghĩ về chúng. Điều này thật đáng kinh ngạc, và tôi vẫn chưa hiểu, dù đã là nhà toán học suốt cuộc đời mình. Rằng làm thế nào một sự vật có thể ở đó mà lại không thực sự ở đó?'
 
Nhưng thế giới của các đối tượng toán học tồn-tại-mà-không-thực-sự-ở-đó này có một vấn đề: Nó quá lớn cho bất kỳ ai để có thể hiểu được. Ngay trong đại số thôi đã có quá nhiều sự vật toán học để nghiên cứu, nhưng lại có quá ít thời gian để thể có thể thấy thấy cả đều hợp lý. Vào khoảng thế kỷ XX, các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu đại số phổ dụng,  gồm một tập hợp, có thể là một họ những phép đối xứng, những con số trong một hệ thống hoặc thứ gì đó hoàn toàn khác, cùng một số phép toán  chẳng hạn như phép cộng và phép nhân  thỏa mãn một loạt các tiên đề liên quan như tính kết hợp, tính giao hoán hay tính phân phối. Với những điều chỉnh khác nhau như: Phép toán được định nghĩa cục bộ hay toàn cục?Nó có khả nghịch không?, người ta thu được những cấu trúc đại số cơ bản: nhóm, vành và trường. Nhưng toán học thì không bị hạn chế bởi những điều chỉnh này, điều này cho thấy một phần rất nhỏ so với số lượng vô hạn các khả năng có thể xảy ra.
 
saw1021Rieh34_d.png

 

Sự sinh sôi của các đối tượng toán học trừu tượng mới mang lại sự phức tạp cho chính chúng. Một cách để đơn giản hóa là trừu tượng hóa hơn nữa, đến mức ta có thể chứng minh các định lý cho hàng loạt đối tượng cùng lúc mà không cần biết rằng cụ thể chúng ta nói về loại đối tượng nào.
 
Lý thuyết phạm trù, ra đời vào những năm 40 bởi Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane, đã làm chính việc này. Dù ban đầu nó được đưa ra để định nghĩa chặt chẽ thuật ngữ lỏng lẻo hay dùng là tương đương tự nhiên, nó còn mang lại một cách nghĩ phổ quát về đại số phổ dụng cũng như các ngành toán học khác. Với ngôn ngữ cua Eilenberg và Mac Lane, ngày nay ta hiểu rằng mỗi loại đối tượng toán học đều thuộc về một phạm trù riêng, được định nghĩa là một họ các vật cùng các phép biến đổi được vẽ dưới dạng mũi tên giữa các vật. Chẳng hạn, trong đại số tuyến tính, người ta nghiên cứu các không gian véc tơ trừu tượng như không gian Euclid $3$-chiều. Các phép biến đổi tương ứng được gọi là các biến đổi tuyến tính, và mỗi phép biến đổi phải có một không gian nguồn và một không gian đích (đầu vào và đầu ra của phép biến đổi). Cũng như các hàm số, các phép biến đổi trong một phạm trù có thể hợp thành với nhau, nghĩa là ta áp dụng một phép biến đổi lên kết quả một phép biến đổi khác. Cho một cặp phép biến đổi $f: A \to B$ (đọc là f là một phép biến đổi từ A vào B) và $g: B \to C$, quy tắc của phạm trù trả về một phép biến đổi hợp thành duy nhất, ký hiệu bởi $g \circ f: A \to C$ (đọc là g hợp f là một phép biến đổi từ A vào C). Cuối cùng, quy tắc hợp thành này có tính kết hợp, nghĩa là $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$. Nó cũng có đơn vị: mỗi vật $B$ đều có một "biến đổi đồng nhất", thường ký hiệu bởi $\mathbf{1}_B$, thỏa mãn tính chất $g \circ \mathbf{1}_B = g$ và $\mathbf{1}_B \circ f = f$ với mọi phép biến đổi $g$ và $f$ lần lượt có nguồn và đích là $B$. 
 
Làm thế nào mà các phạm trù có thể giúp cô hay cậu sinh viên bất hạnh, người đã phải gặp quá nhiều đối tượng toán học và chẳng có đủ thời gian học hết? Bất kỳ lớp cấu trúc nào trong đại số phổ dụng có thể khác các lớp khác, nhưng các phạm trù chứa chúng thì rất giống nhau, theo một cách có thể diễn tả chính xác bằng ngôn ngữ phạm trù.
 
Với đủ kinh nghiệm, một nhà toán học sẽ biết rằng họ sẽ thấy gì khi gặp một kiểu đổi tượng đại số mới. Ý tưởng này được thể hiện trong các sách toán hiện đại mà lý thuyết nhóm, vành và không gian véctơ được trình bày theo một chuỗi, về cơ bản là các lý thuyết đó song song với nhau. Có những sự tương tự khác, lỏng lẻo hơn, giữa những những phạm trù này và một số phạm trù mà sinh viên gặp trong các môn tôpô hay giải tích, và những sự tương đồng đó đó giúp họ tiếp thu tài liệu mới nhanh hơn. Những khuôn mẫu như vậy cho phép sinh viên có thêm thời gian khám phá các chủ đề cụ thể có vai trò phân biệt các lĩnh vực của toán học  mặc dù những tiến bộ trong nghiên cứu toán học thường đến từ những sự tương tự mới và đáng ngạc nhiên giữa hai lĩnh vực không liên quan trước đó.

 

 

 

ĐỐI XỨNG

 

Các tầng trừu tượng, từ những cấu trúc toán học cụ thể đến những hệ tiên đề và sau đó là các vật trong phạm trù, mở ra một thách thức mới: sự như nhau giữa một vật và một vật khác không còn rõ ràng nữa. Chẳng hạn, một nhóm, đối tượng toán học được cho bởi một họ trừu tượng các phép đối xứng mà các phần tử của nó được Amie Wilkinson (Đại học Chicago) mô tả như những chuyển động lật hoặc xoay một đối tượng để đưa nó về trạng thái gần giống như ban đầu.

 
Chẳng hạn, ta có thể khám phá các phép đối xứng của một chiếc áo thun. Có một phép đối xứng được coi là chuyển động đồng nhất, khi mà người mặc chỉ đơn thuần là giữ chiếc áo thun như bình thường. Một phép đối xứng khác ứng với chuyển động mà người mặc bỏ tay ra khỏi tay áo, giữ áo ở cổ, xoay áo 180 độ và cho tay vào tay áo đối diện: mặt phải của áo vẫn ở ngoài nhưng áo được mặc ngược ra sau. Một phép đối xứng khác nữa ứng với chuyển động mà người mặc cởi áo ra, lộn mặt trong ra ngoài và mặc lại sao cho mỗi tay ở đúng tay áo ban đầu.  Lúc này chiếc áo thun bị lộn ngược trong ra ngoài và sau ra trước. Một phép đối xứng cuối cùng là kết hợp hai chuyển động trên: không giống như với phần lớn các nhóm, hai chuyển động này có thể thực hiện theo thứ tự tùy ý mà không làm thay đổi kết quả. Mỗi một trong bốn chuyển động trên được coi là một phép đối xứng vì sau cùng chiếc áo thun được mặc nói chung là giống như lúc đầu.
 
saw1021Rieh35_d.png
 
Một nhóm khác là nhóm lật thảm, nó mô tả các đối xứng của một tấm thảm. Bên cạnh chuyển động đồng nhất (tức là giữ nguyên tấm thảm), ta có thể xoay nó 180 độ, hoặc lật mặt dưới lên trên, hoặc kết hợp cả hai (tấm thảm nói chung không phải là hình vuông, nhưng nếu nó là hình vuông thì ta sẽ có nhiều phép đối xứng hơn nữa). Dù chiếc áo thun chẳng liên quan gì đến tấm thảm, có một trực giác rằng hai nhóm đối xứng trên có cùng dạng với nhau. Thứ nhất, cả hai nhóm đều có cùng số chuyển động (ở đây là bốn) và quan trọng hơn là ta có thể ghép mỗi chuyển động ở nhóm áo thun với nhóm lật thảm sao cho phép hợp thành chuyển động ở hai nhóm tương thích với nhau. Nói cách khác, ta có thể ghép cặp các chuyển động ở hai nhóm (phép đồng nhất ghép với phép đồng nhất, phép lật ghép với phép lật, phép xoay ghép với phép xoay, và cứ như vậy). Thứ hai, nếu ta lấy hai chuyển động từ một nhóm và thực hiện chúng theo trình tự, kết quả thu được sẽ giống với kết quả khi ta thực hiện hai chuyển động tương ứng từ nhóm còn lại theo trình tự. Về mặt kỹ thuật, các nhóm này được liên kết với nhau bởi một đẳng cấu (isomorphism), thuật ngữ được tạo ra bằng cách ghép từ gốc Hy Lạp isos, nghĩa là bằng, với morphe, nghĩa là dạng
 
Ta có thể định nghĩa đẳng cấu trong bất kỳ phạm trù nào, cho phép ta chuyển khái niệm này giữa các ngữ cảnh toán học khác nhau. Một đẳng cấu giữa hai vật $A$ và $B$ trong một phạm trù được cho bởi một cặp biến đổi $f: A \to B$ và $g: B \to A$ với sao cho các phép biến đổi hợp thành $g \circ f$ và $f \circ g$ lần lượt là các biến đổi đồng nhất $\mathbf{1}_A$ và $\mathbf{1}_B$. Trong phạm trù các không gian tôpô, khái niệm đẳng cấu được mô tả bởi một cặp hàm liên tục nghịch đảo lẫn nhau. Chẳng hạn, có một phép biến dạng liên tục cho phép bạn biến đổi một chiếc bánh vòng (chưa nướng) thành hình dạng như tách cà phê: lỗ ở giữa chiếc bánh vòng trở thành quai cầm, và phần cốc được tạo thành bằng cách dùng ngón tay ép. (Để phép biến dạng là liên tục, bạn không được xé rách chiếc bánh, đó là lí do vì sao không nên nướng bánh trước khi làm trò này.)
 
Ví dụ này dẫn đến câu đùa rằng nhà tôpô học không thể phân biệt giữa tách cà phê và chiếc bánh vòng: với tư cách là các không gian trừu tượng, hai đối tượng này giống nhau. Trên thực tế, nhiều nhà tôpô học có khả năng phân biệt còn tệ hơn thế nữa kia; đó là vì họ đã sử dụng một quy ước linh hoạt hơn nhiều để mô tả tình huống khi hai không gian là như nhau, họ đồng nhất hai không gian bất kỳ mà chỉ tương đương đồng luân với nhau thôi. Thuật ngữ trên là khái niệm đẳng cấu trong một phạm trù kỳ lạ hơn, phạm trù đồng luân của các không gian. Một tương đương đồng luân là một kiểu biến dạng liên tục khác, nhưng lúc này bạn được phép dính hai điểm phân biệt với nhau. Chẳng hạn, tưởng tượng rằng bạn bắt đầu với chiếc quần jean và thu gọn chiều dài của hai ống quần đến khi bạn thu được chiếc quần lọt khe, một không gian khác mà cấu trúc tôpô về cơ bản là không đổi nó vẫn có hai lỗ để cho chân vào, dù hai ống quần ($2$-chiều) ban đầu đã bị rút thành hai vòng dây ($1$-chiều).
 
saw1021Rieh36_d.png

 

Một phép tương đương đồng luân khác thu hết toàn bộ không gian Euclid vô hạn $3$-chiều về một điểm bằng một vụ nổ Big Bang ngược, khi mọi điểm đều thu về gốc, với tốc độ tăng dần theo khoảng cách giữa điểm đó với vị trí ban đầu của vụ nổ. 
 
Trực giác rằng ta có thể dùng các vật đẳng cấu để thay thế nhau mà về cơ bản không làm thay đổi bản chất của phép xây dựng hay suy luận, là một trực giác rất mạnh mà các nhà lý thuyết phạm trù đã phải định nghĩa lại từ the trong tiếng Anh bởi thứ mà gần giống như từ a. Chẳng hạn, có một khái niệm gọi là hợp rời của hai tập hợp $A$ và $B$. Giống như hợp thông thường, hợp rời $A \sqcup B$ chứa một bản sao của mỗi phần tử của $A$ cũng như của $B$. Nó khác hợp thông thường ở chỗ, nếu $A$ và $B$ có phần tử chung thì hợp rời $A \sqcup B$ chứa tới hai bản sao của phần tử đó, một bản sao nhớ rằng nó đến từ $A$ và bản sao còn lại nhớ rằng nó đến từ $B$.
 
Có nhiều cách khác nhau để xây dựng hợp rời từ các tiên đề của lý thuyết tập hợp, chúng không cho chính xác cùng một tập hợp, nhưng sẽ cho các tập hợp đẳng cấu với nhau. Thay vì tốn thời gian tranh luận rằng cách xây dựng nào là chính tắc nhất, sẽ tiện hơn khi cứ giấu nhẹm sự mơ hồ này và dùng từ (the) hợp rời để chỉ bất kỳ tập hợp nào thỏa mãn bài toán phổ dụng tương ứng. Một ví dụ khác, các nhóm đối xứng áo thun và nhóm lật thảm ở trên đều được gọi là (the) nhóm bốn Klein.

 

 

 

PHẠM TRÙ VÔ CỰC

 
Có câu chuyện truyền miệng sau về nguồn gốc của định lý cơ bản của lý thuyết phạm trù: một nhà toán học trẻ tên Nobuo Yoneda đã mô tả một bổ đề, tức là một định lý bổ trợ, cho Mac Lane ở điểm tàu Gare du Nord ở Paris năm 1954. Yoneda bắt đầu giải thích bổ đề trên sân ga và tiếp tục ở trên tàu trước khi nó rời ga. Hệ quả của bổ đề này là mọi vật trong bất kỳ phạm trù nào đều hoàn toàn xác khi biết quan hệ của nó với các vật khác trong phạm trù đó, tức là các phép biến đổi từ vật đó vào vật khác hoặc ngược lại. Như vậy ta có thể đặc trưng một không gian tôpô $X$ bằng các nghiên cứu các hàm liên tục $f: T \to X$ đến từ các không gian $T$ khác. Chẳng hạn, một điểm trong $X$ ứng với một hàm liên tục $x: \ast \to X$ mà không gian nguồn $\ast$ là không gian với duy nhất một điểm. Ta có thể biết $X$ liên thông hay không bằng cách xét các ánh xạ $p: I \to X$ với nguồn là đoạn $I = [0,1]$. Một ánh xạ như thế là một đường có tham số trong không gian $X$ từ điểm $p(0)$ đến điểm $p(1)$, có thể xem như một quỹ đạo khả dĩ mà một con kiến có thể di chuyển trong $X$.
 
Ta có thể dùng các điểm và đường trong một không gian để dịch các bài toán tôpô sang đại số: Mỗi không gian tôpô $X$ có một phạm trù tương ứng $\pi_1 X$, gọi là phỏng nhóm cơ bản của $X$. Vật trong phạm trù này là các điểm của không gian, và các phép biến đổi là các đường. Nếu một đường có thể biến dạng thành một đường khác mà vẫn cố định hai đầu mút, ta quy ước rằng hai đường này định nghĩa cùng một phép biến đổi. Các biến dạng này được gọi là các phép đồng luân, ta cần chúng để mô tả phép hợp thành của đường sao cho tính kết hợp được thỏa mãn, điều kiện cần của mọi phạm trù.
 
saw1021Rieh37_d.png
 
Ưu thế then chốt của phỏng nhóm cơ bản là tính hàm tử, nghĩa là mọi hàm liên tục $f: X \to Y$ giữa hai không gian tôpô cho ta một phép biến đổi $\pi_1 f: \pi_1 X \to \pi_1 Y$ giữa hai phỏng nhóm cơ bản. Phép biến đổi này tôn trọng phép hợp thành và đồng nhất của đường, nghĩa là $\pi_1(g \circ f) = \pi_1 g \circ \pi_1 f$ và $\pi_1(\mathbf{1}_x) = \mathbf{1}_{\pi_1 x}$. Hai tính chất này, gọi chung là tính hàm tử, gợi ý rằng phỏng nhóm cơ bản giữ được những tính chất cốt lõi của không gian tôpô. Nói riêng, nếu hai không gian không tương đương đồng luân thì phỏng nhóm cơ bản của chúng cũng không tương đương.
 
Dù vậy, phỏng nhóm cơ bản chưa phải là một bất biến hoàn chỉnh. Có thể dễ dàng phân biệt một đường tròn với hình tròn đặc mà đường tròn ấy bao quanh. Trong phỏng nhóm cơ bản của đường tròn, các đường giữa hai điểm cho trước, sai khác biến dạng liên tục (đồng luân), được gán với các số nguyên, chỉ số vòng mà đường này quay quanh đường tròn, với dấu $+$ hoặc $-$ chỉ chiều thuận hoặc ngược kim đồng hồ. Ngược lại, trong phỏng nhóm cơ bản của hình tròn, chỉ có duy nhất (sai khác đồng luân) một đường giữa bất kỳ cặp điểm nào. Phỏng nhóm cơ bản của phần bề mặt của quả bóng, hay một mặt cầu theo ngôn ngữ tôpô, cũng thỏa mãn chính chất này: tồn tại duy nhất, sai khác đồng luân, một đường giữa hai điểm bất kỳ.
 
saw1021Rieh38_d.png

 

Vấn đề lớn với phỏng nhóm cơ bản là điểm và đường không phát hiện được cấu trúc ở chiều cao hơn của không gian, vì bản thân điểm và đoạn lần lượt là $0$-chiều và $1$-chiều. Một giải pháp là xét thêm cả các hàm liên tục từ hình tròn $2$-chiều, được gọi là các phép đồng luân, cùng với các đồng luân bậc cao, được định nghĩa là các hàm liên tục hình hình cầu đặc $3$-chiều và tương tự với các hình siêu cầu $4$-, $5$-, $6$-chiều hoặc hơn.
 
Một câu hỏi tự nhiên là các điểm, đường, đồng luân và đồng luân bậc cao của một không gian $X$ thì tạo ra cấu trúc gì: cấu trúc $\pi_\infty$ này, gọi là $\infty$-phỏng nhóm cơ bản của X, định nghĩa một $\infty$-phạm trù, phiên bản vô hạn chiều của phạm trù đưa ra bởi Eilenberg và Mac Lane. Giống như phạm trù thông thường, một $\infty$-phạm trù gồm các vật và các phép biến đổi được vẽ như những mũi tên $1$-chiều, nhưng nó còn có thêm các phép biến đổi bậc cao, được vẽ như các mũi tên $2$-chiều, mũi tên $3$-chiều, và cứ như vậy. Ví dụ, trong $\pi_\infty X$, các vật và các mũi tên lần lượt là các điểm và các đường lúc này ta không xét sai khác đồng luân nữa trong khi các biến đổi bậc cao lưu giữ thông tin đồng luân bậc cao. Cũng như trong phạm trù thông thường, các mũi tên (với số chiều cố định) có thể hợp thành: nếu ta có hai mũi tên $f: X \to Y$ và $g: Y \to Z$, ta phải có mũi tên thứ ba $g \circ f: X \to Z$. Nhưng cái khó ở đây là: để mô tả được những ví dụ rất tự nhiên như $\infty$-phỏng nhóm cơ bản của một không gian, luật hợp thành phải bị làm yếu đi. Với mỗi cặp mũi tên khả hợp thành, một mũi tên hợp thành tồn tại, nhưng nó không còn là duy nhất nữa.
 
saw1021Rieh39_d.png
 
Sự thiếu sót của tính duy nhất này thách thức việc định nghĩa $\infty$-phạm trù bằng cơ sở toán học bởi lý thuyết tập hợp cổ điển, vì ta không thể xem phép hợp thành như một phép toán như trong đại số phổ dụng nữa. Dù $\infty$-phạm trù đang dần trở thành đối tượng trung tâm của nghiên cứu hiện đại trong nhiều lĩnh tực toán học từ lý thuyết trường lượng tử tôpô đến hình học đại số hay tôpô đại số, chúng thường được xem là quá khó cho mọi người ngoài các chuyên gia, và nó không xuất hiện thường xuyên trong chương trình học, ngay cả sau đại học. Dù vậy, tôi và nhiều người khác xem $\infty$-phạm trù như một hướng đi mới và cách mạng, cho phép các nhà toán học mơ đến những liên kết mới mà không thể phát biểu và chứng minh một cách chặt chẽ bằng cách khác.
 
 

MỘT SỐ THUẬT NGỮ TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI

  • Phạm trù: một họ cụ thể gồm các vật và và phép biến đổi giữa chúng, cùng một luật hợp thành.
  • Hợp thành: chỉ việc áp dụng một phép biến đổi lên kết quả của một phép biến đổi khác.
  • Đồng nhất: phép biến đổi từ một vật vào chính nó mà hoàn toàn không thay đổi vật đó.
  • Đối xứng: một phép biến đổi khả nghịch từ một vật vào chính nó.
  • Đẳng cấu: khái niệm “như nhau” về mặt cấu trúc, tồn tại giữa các cặp vật trong một phạm trù.
  • Phỏng nhóm cơ bản: phạm trù mà vật là điểm trong một không gian và các phép biến đổi là các đường sai khác đồng luân giữa chúng.
  • Đồng luân: “đường giữa hai đường", được định nghĩa là một biến dạng liên tục từ đường này thành đường kia.
  • Phạm trù vô cực: phiên bản vô hạn chiều của phạm trù, nơi có thêm các biến đổi bậc cao và luật hợp thành bị làm yếu đi.
  • Phỏng nhóm vô cực cơ bản: phạm trù vô cực gồm các điểm, đường, đồng luân và đồng luân bậc cao của một không gian.

 

 

 

CHÂN TRỜI TƯƠNG LAI

 
Dẫu vậy, kinh nghiệm lịch sử cho thấy rằng phần lớn những kiến thức toán học mới lạ nhất hôm nay sẽ dần trở nên đủ dễ để dạy cho sinh viên toán ngài mai. Sẽ rất vui khi được quan sát, với tư cách là một người nghiên cứu $\infty$-phạm trù, cách mà nó có thể được đơn giản hóa đi. Chẳng hạn như một mẹo nhỏ về ngôn ngữ một phiên bản siêu cấp của từ the trong phạm trù có thể khiến cho sinh viên ở cuối thế kỷ XXI hiểu $\infty$-phạm trù một cách dễ dàng như phạm trù thông thường ngày nay. Tiên đề then chốt của lý thuyết phạm trù thông thường là sự tồn tại duy nhất của một phép biến đổi hợp thành $g \circ f: X \to Z$ với mỗi cặp biến đổi $f: X \to Y$ và $g: Y \to Z$, được chọn ra từ tập các phép biến đổi từ $X$ vào $Z$. Trái lại, trong một $\infty$-phạm trù, có một không gian các mũi tên từ $X$ vào $Z$, thứ mà trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản có thể hiểu là không gian đường. Phiên bản đúng của tính hợp thành duy nhất trong phạm trù thông thường là mệnh đề: trong một $\infty$-phạm trù, không gian các hợp thành là co rút được, nghĩa là mỗi điểm của nó đều có thể suy sụp một cách liên tục qua một vụ nổ Big Bang ngược về một điểm gốc duy nhất.
 
Chú ý rằng tính co rút được không suy ra rằng có duy nhất một hợp thành: thật vậy, ta đã thấy rằng trong $\infty$-phỏng nhóm cơ bản, có thể có rất nhiều đường hợp thành. Nhưng tính co rút được đảm bảo rằng hai đường hợp thành luôn đồng luân, và hai phép đồng luân bất kỳ giữa hai đường hợp thành luôn liên kết với nhau bởi một đồng luân bậc cao, và cứ như vậy.
 
saw1021Rieh40_d.png

 

Ý tưởng về sự duy nhất như điều kiện co rút được này là một ý tưởng trung tâm trong hệ cơ sở toán học mới được đề xuất bởi Vladimir Voedvodsky và nhiều người khác. Các nhà toán học khắp nơi đang hợp sức phát triển những phụ tá chứng minh” bằng máy tính có khả năng kiểm tra từng dòng một trong chứng minh hình thức của một kết quả toán học. Những phụ tá này có một cơ chế bắt chước theo một kỹ thuật chung trong toán học là chuyển thông tin từ một vật sang một vật khác được coi là giống vật ban đầu qua một đẳng cấu tường minh hoặc một tương đương đồng luân. Cơ chế này cho phép người dùng chuyển một chứng minh liên quan đến một điểm trong không gian qua một đường nối nó đến một điểm khác, đưa ra một định nghĩa chặt chẽ về khái niệm như nhau” của tôpô.
 
Trong một tham luận năm 1974, nhà toán học Micheal Atiyah đã viết Mục tiêu thực sự của lý thuyết là tổ chức lại một cách có hệ thống kinh nghiệm quá khứ sao cho thế hệ sau, học sinh của chúng ta, rồi học sinh của họ, rồi sau đó nữa, có thể tiếp thu những khía cạnh cốt lõi mà ít tốn sức nhất, và đó là cách duy nhất mà bạn có thể liên tục tích lũy và xây dựng bất kỳ hoạt động khoa học nào mà không đi đến ngõ cụt.” Lý thuyết phạm trù đóng vai trò này trong toán học hiện đại: nếu toán học là khoa học của sự tương tự, các khuôn mẫu, thì lý thuyết phạm trù là khoa học của các khuôn mẫu tư duy toán học — toán học của toán học, như Eugenia Cheng (Viện Nghệ thuật Chicago), đã gọi.
 
Lý do ta dạy được rất nhiều trong một môn toán ở đại học ngày nay là vì hiểu biết của chúng ta về rất nhiều khái niệm toán học khác nhau đã được đơn giản hóa nhờ sự trừu tượng, có thể xem như lùi khỏi bài toán cụ thể để quan sát tổng quan toán học. Rất nhiều chi tiết sẽ ẩn đi ở tầm này xấp xỉ số chẳng hạn, hoặc bất kỳ thứ gì liên quan đến số nhưng một sự thật đáng chú ý là nhiều định lý trong đại số, lý thuyết tập hợp, tôpô và hình học đại số thường đúng vì cùng một lý do đằng sau, và khi đó, các chứng minh được diễn tả bằng ngôn ngữ phạm trù.
 
Có gì ở chân trời tương lai? Đang hình thành một sự đồng thuận trong nhiều lĩnh vực toán học rằng các đối tượng cơ bản của toán học thế kỷ XXI là các $\infty$-phạm trù, giống như ở thế kỷ XX là các phạm trù thông thường. Ta hi vọng rằng chiếc tháp vô hạn của các mũi tên ở mọi chiều này, thứ cần nghiên cứu tỉ mỉ trong $\infty$-phạm trù, đến lúc nào đó sẽ thu gọn về về tiềm thức chung của toán học, với các không gian co rút được suy sụp về một điểm duy nhất. Và ta có thể tự hỏi: Nếu những tiến bộ này xuất hiện ở thế kỷ XX, toán ở học ở cuối thế kỷ XXI sẽ đi về đâu?

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#2
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

https://arxiv.org/abs/1703.07842 Gần đây có bài này của Clausen chứng minh luật thuận nghịch Artin bằng stable $\infty$-category ( nhưng không thấy đăng ở đâu ?). 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 18-02-2023 - 06:29


#3
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Cảm ơn nmlinh16 về bản dịch rất công phu. Bài viết dài nên chắc cũng mất kha khá thời gian đấy nhỉ  :namtay

Mục "Một số thuật ngữ Toán học hiện đại" nếu được giới thiệu sớm hơn (ví dụ trước mục "Phạm trù") thì có lẽ là sẽ thuận tiện hơn cho nhiều bạn đọc (và nếu có thêm thuật ngữ tiếng Anh nữa thì lại càng tốt).  

 

 

Một phần câu trả lời đến từ những tiến bộ gần đây của toán học, thứ mang lại một cái nhìn từ trên xuống, thông qua các cấp độ trừu tượng ngày càng tăng. Lý thuyết phạm trù là một nhánh toán học giải thích khi nào những đối tượng toán học khác nhau được coi là như nhau. Định lý cơ bản của nó nói rằng bất kỳ đối tượng nào, bất kể phức tạp ra sao, đều hoàn toàn xác định khi biết quan hệ của nó với các đối tượng tương tự. Nhờ lý thuyết phạm trù, chúng ta dạy các nhà toán học trẻ những ý tưởng mới nhất bằng những quy tắc tổng quát có thể áp dụng cho những phạm trù khác nhau của toán học, thay vì đào sâu vào những quy luật đặc trưng chỉ áp dụng được trong một lĩnh vực đơn lẻ.
 
...
 
Làm thế nào mà các phạm trù có thể giúp cô hay cậu sinh viên bất hạnh, người đã phải gặp quá nhiều đối tượng toán học và chẳng có đủ thời gian học hết? Bất kỳ lớp cấu trúc nào trong đại số phổ dụng có thể khác các lớp khác, nhưng các phạm trù chứa chúng thì rất giống nhau, theo một cách có thể diễn tả chính xác bằng ngôn ngữ phạm trù.
 
Với đủ kinh nghiệm, một nhà toán học sẽ biết rằng họ sẽ thấy gì khi gặp một kiểu đổi tượng đại số mới. Ý tưởng này được thể hiện trong các sách toán hiện đại mà lý thuyết nhóm, vành và không gian véctơ được trình bày theo một chuỗi, về cơ bản là các lý thuyết đó song song với nhau. Có những sự tương tự khác, lỏng lẻo hơn, giữa những những phạm trù này và một số phạm trù mà sinh viên gặp trong các môn tôpô hay giải tích, và những sự tương đồng đó đó giúp họ tiếp thu tài liệu mới nhanh hơn. Những khuôn mẫu như vậy cho phép sinh viên có thêm thời gian khám phá các chủ đề cụ thể có vai trò phân biệt các lĩnh vực của toán học  mặc dù những tiến bộ trong nghiên cứu toán học thường đến từ những sự tương tự mới và đáng ngạc nhiên giữa hai lĩnh vực không liên quan trước đó.
 
... 
 
Lý do ta dạy được rất nhiều trong một môn toán ở đại học ngày nay là vì hiểu biết của chúng ta về rất nhiều khái niệm toán học khác nhau đã được đơn giản hóa nhờ sự trừu tượng, có thể xem như lùi khỏi bài toán cụ thể để quan sát tổng quan toán học. Rất nhiều chi tiết sẽ ẩn đi ở tầm này xấp xỉ số chẳng hạn, hoặc bất kỳ thứ gì liên quan đến số nhưng một sự thật đáng chú ý là nhiều định lý trong đại số, lý thuyết tập hợp, tôpô và hình học đại số thường đúng vì cùng một lý do đằng sau, và khi đó, các chứng minh được diễn tả bằng ngôn ngữ phạm trù.

 

Từ hơn một năm nay Nesbit đã muốn học category theory, mà lúc tìm hiểu thì đọc được ở đâu đấy thấy bảo là muốn thấy được hết cái hay cái đẹp của category theory thì cần khá nhiều background về nhiều mảng mà Nesbit còn thiếu (mặc dù để học và hiểu được thì chẳng cần gì nhiều). Định bụng cày hết background trước, nhưng theo như trích đoạn ở trên thì có vẻ là học category theory trước sẽ thuận lợi hơn để học nhiều mảng khác nhau của Toán? Vậy thì chính xác lúc nào thì nên học category theory nhỉ? Ví dụ, nên học category trước hay algebraic topology trước? Nếu đi từ undergraduate lên chẳng hạn, thì cần học những gì trước category theory?


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#4
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
Định bụng cày hết background trước, nhưng theo như trích đoạn ở trên thì có vẻ là học category theory trước sẽ thuận lợi hơn để học nhiều mảng khác nhau của Toán? Vậy thì chính xác lúc nào thì nên học category theory nhỉ? Ví dụ, nên học category trước hay algebraic topology trước? Nếu đi từ undergraduate lên chẳng hạn, thì cần học những gì trước category theory?

Lý thuyết phạm trù (category theory) là một ngôn ngữ mang tính hình thức ở mức bắt đầu (ở các trình độ cao hơn nó mới phát triển thành ngành nghiên cứu), do đó sẽ không hợp lý lắm nếu chỉ mở sách ra và đọc các định nghĩa. Ngay bản thân tên gọi theory (vẫn ở mức bắt đầu) cũng không đúng lắm, nó không thực sự là lý thuyết mà có thể nói là một cách gom các cấu trúc toán học khác nhau vào cùng một ngôn ngữ hình thức (qua các biểu đồ chẳng hạn). Với lý do đó anh nên bắt đầu với tôpô đại số (algebraic topology), vì nó là một trong các gốc gác đầu tiên cho lý thuyết phạm trù. Thực chất lý thuyết phạm trù "không cần" học, người ta tiếp thu nó rất tự nhiên qua việc biết rất nhiều ví dụ khác nhau. Cách tốt nhất để học nó là biết càng nhiều ví dụ càng tốt và nhìn được nhiều điểm khác nhau. Ví dụ như đồng cấu nhóm, đồng cấu vành, đồng cấu trường (group homomorphism, ring homomorphism, field homomorphism) thì cùng là các cấu xạ (morphism) trong các phạm trù nhóm, phạm trù vành, phạm trù trường, mỗi khi ta thêm cấu trúc vào vật (object) trong phạm trù thì ta thêm điều kiện vào cấu xạ.

 

Nếu chỉ ngồi học định nghĩa không của lý thuyết phạm trù, thì không nắm được bản chất của gì cả, còn gọi là abstract nonsense. Từ level undergraduate thì chỉ cần biết những thứ như nhóm, vành, trường, module, đại số (những thứ như hình học cũng tốt) và sau đó đọc thử đại số đồng điều là một cách để thực sự "sờ nắn" lý thuyết phạm trù.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 20-02-2023 - 21:55

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#5
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Ngay bản thân tên gọi theory (vẫn ở mức bắt đầu) cũng không đúng lắm, nó không thực sự là lý thuyết mà có thể nói là một cách gom các cấu trúc toán học khác nhau vào cùng một ngôn ngữ hình thức (qua các biểu đồ chẳng hạn). Với lý do đó anh nên bắt đầu với tôpô đại số (algebraic topology), vì nó là một trong các gốc gác đầu tiên cho lý thuyết phạm trù. Thực chất lý thuyết phạm trù "không cần" học, người ta tiếp thu nó rất tự nhiên qua việc biết rất nhiều ví dụ khác nhau. Cách tốt nhất để học nó là biết càng nhiều ví dụ càng tốt và nhìn được nhiều điểm khác nhau. Ví dụ như đồng cấu nhóm, đồng cấu vành, đồng cấu trường (group homomorphism, ring homomorphism, field homomorphism) thì cùng là các cấu xạ (morphism) trong các phạm trù nhóm, phạm trù vành, phạm trù trường, mỗi khi ta thêm cấu trúc vào vật (object) trong phạm trù thì ta thêm điều kiện vào cấu xạ.

 

Đoạn này Bằng viết anh thấy về đại ý gần giống với những gì anh được đọc trước đó. Nhưng còn đoạn học dựa trên địa nghĩa thì anh không hiểu lắm:

 

Lý thuyết phạm trù (category theory) là một ngôn ngữ mang tính hình thức ở mức bắt đầu (ở các trình độ cao hơn nó mới phát triển thành ngành nghiên cứu), do đó sẽ không hợp lý lắm nếu chỉ mở sách ra và đọc các định nghĩa.

 

...
 
Nếu chỉ ngồi học định nghĩa không của lý thuyết phạm trù, thì không nắm được bản chất của gì cả, còn gọi là abstract nonsense. Từ level undergraduate thì chỉ cần biết những thứ như nhóm, vành, trường, module, đại số (những thứ như hình học cũng tốt) và sau đó đọc thử đại số đồng điều là một cách để thực sự "sờ nắn" lý thuyết phạm trù.

 

Chẳng lẽ category theory chỉ có định nghĩa thôi sao? Theo anh hiểu thì nó như là một lý thuyết tổng quát cho nhiều mảng khác nhau của Toán học, nghĩa là những mảng này đều liên quan (và tương đồng) với nhau thông qua cái nhìn của category theory. Tất nhiên anh chưa học nên không rành, nhưng anh có thể thấy là việc này có nhiều lợi ích. Ví dụ, một đính lý trong một mảng này có thể được "dịch" sang một mảng khác thông qua category, và như vậy ta có thể thu được một định lý mới (hoặc một định lý đã có sẵn, nhưng xem như cách chứng minh là mới, thông qua category theory và kết quả của mảng kia). Đã có trường hợp nào mà category theory giúp phát hiện ra định lý mới như vậy chưa nhỉ? Anh nghĩ chắc là phải có chứ?

Nếu học category theory, thì anh trông đợi là sẽ được học những ví dụ hay làm những bài tập tương tự như vậy. Còn nếu chỉ có định nghĩa, thì học category theory để làm gì? 

 

Đến đây làm nhớ tới một câu mà Dieudonné nói với Grothendieck, đại loại "il ne faut pas généraliser pour le plaisir de généraliser". Cụm từ "abstract nonsense" chắc cũng xuất phát từ việc cho rằng category theory chỉ để trừu tượng hoá lên mọi thứ chứ chẳng dùng được làm gì. Nhưng ngày nay thì đã rất rõ ràng rằng điều đó không đúng (và lưu ý rằng "abstract nonsense" ngày nay được mọi người dùng với nghĩa tích cực chứ không phải tiêu cực).

 

P/s: Về topô đại số thì Nesbit chỉ lấy ví dụ vậy thôi chứ vẫn chưa học tới, còn nhiều thứ phải học mà ít thời gian quá anh em ạ  :(  :(  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 21-02-2023 - 16:47
Thêm câu P/S

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#6
NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1468 Bài viết

Bài viết hay quá :D cảm ơn chủ post đã dịch lại một cách rất tâm huyết và mạch lạc ạ  :wub:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyThang khtn: 21-02-2023 - 16:40

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 


#7
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Đoạn này Bằng viết anh thấy về đại ý gần giống với những gì anh được đọc trước đó. Nhưng còn đoạn học dựa trên địa nghĩa thì anh không hiểu lắm:

 

 

Chẳng lẽ category theory chỉ có định nghĩa thôi sao? Theo anh hiểu thì nó như là một lý thuyết tổng quát cho nhiều mảng khác nhau của Toán học, nghĩa là những mảng này đều liên quan (và tương đồng) với nhau thông qua cái nhìn của category theory. Tất nhiên anh chưa học nên không rành, nhưng anh có thể thấy là việc này có nhiều lợi ích. Ví dụ, một đính lý trong một mảng này có thể được "dịch" sang một mảng khác thông qua category, và như vậy ta có thể thu được một định lý mới (hoặc một định lý đã có sẵn, nhưng xem như cách chứng minh là mới, thông qua category theory và kết quả của mảng kia). Đã có trường hợp nào mà category theory giúp phát hiện ra định lý mới như vậy chưa nhỉ? Anh nghĩ chắc là phải có chứ?

Nếu học category theory, thì anh trông đợi là sẽ được học những ví dụ hay làm những bài tập tương tự như vậy. Còn nếu chỉ có định nghĩa, thì học category theory để làm gì? 

 

Đến đây làm nhớ tới một câu mà Dieudonné nói với Grothendieck, đại loại "il ne faut pas généraliser pour le plaisir de généraliser". Cụm từ "abstract nonsense" chắc cũng xuất phát từ việc cho rằng category theory chỉ để trừu tượng hoá lên mọi thứ chứ chẳng dùng được làm gì. Nhưng ngày nay thì đã rất rõ ràng rằng điều đó không đúng (và lưu ý rằng "abstract nonsense" ngày nay được mọi người dùng với nghĩa tích cực chứ không phải tiêu cực).

 

P/s: Về topô đại số thì Nesbit chỉ lấy ví dụ vậy thôi chứ vẫn chưa học tới, còn nhiều thứ phải học mà ít thời gian quá anh em ạ  :(  :(  :(

Em chia sẻ ý kiến của Bằng chỉ là nếu từ góc độ của một người muốn đi nghiên cứu toán học thì viec chỉ đọc category không (lấy ví dụ như quyển sách của Mac Lane) sẽ không học được gì nhiều lắm. Nó hơi giống như việc tách việc học lý thuyết tập hợp ra khỏi việc học giải tích hoặc đại số vậy: nếu chỉ học lý thuyết tập hợp không thì sẽ rất chán. Nói chung nếu anh cứ đọc bất kỳ một cuốn sách nào đó về hình học đại số hoặc tô pô đại số thì sẽ có lý thuyết phạm trù trong đó, không cần thiết phải học riêng.

 

Bài viết trên là về phạm trù vô cực, và Emily Riehl là nhà toán học hàng đầu thế giới về lĩnh vực này. Đây mới là lĩnh vực đang được nghiên cứu, còn tính cách mạng của phạm trù đã xảy ra từ giữa thế kỷ 20 rồi. Một lý thuyết về phạm trù vô cực đã được Grothendieck khởi xướng từ những năm 1980, va tới đầu những năm 2000 nó mới được hồi sinh bởi các công trình của Jacob Lurie về hình học đại số dẫn xuất. Phạm trù vô cực bao gồm cả lý thuyết đồng luân nên khó mà lập luận rằng nghiên cứu phạm trù vô cực giống nghiên cứu phạm trù thuần tuý được và nó nên được phân loại là tô pô đại số (đây là cách phân loại của IMU). Cái mà cũng được sử dụng để nghiên cứu đồng luân trong lý thuyết phạm trù thông thường là phạm trù mô hình( đã có ở trên diễn đàn ). Phạm trù vô cực có giúp áp dụng lý thuyết đồng luân vào hình học đại số, nhưng no không phải làm một phạm trù ! 

 

Về việc học phạm trù từ góc độ "cho vui", em nghĩ đầu tiên anh có thể chọn một lĩnh vực nào đó có sử dụng phạm trù và học phạm trù thông qua lĩnh vực đó. Em nghĩ bên ứng dụng có rất nhiều. Gần với bên máy tính thì em nghĩ có topos do liên hệ của nó với logic.

 

Bổ sung thêm kinh nghiệm của em với phạm trù: M1 được dạy khi học hình đại số, M2 không được dạy tí nào. Cũng không ai dạy phạm trù theo cách nó dịch định lý từ lĩnh vực này sang lĩnh vực kia để phát hiện ra đinh lý mới được vì nói thực toán học mà chỉ như thế thì dễ quá =), ai cũng thành nhà toán học cả. Điều cỗi lõi vẫn là nội dung số học/hình học mà mình đang quan tâm. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 21-02-2023 - 19:45


#8
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Ví dụ, một đính lý trong một mảng này có thể được "dịch" sang một mảng khác thông qua category, và như vậy ta có thể thu được một định lý mới (hoặc một định lý đã có sẵn, nhưng xem như cách chứng minh là mới, thông qua category theory và kết quả của mảng kia). Đã có trường hợp nào mà category theory giúp phát hiện ra định lý mới như vậy chưa nhỉ? Anh nghĩ chắc là phải có chứ?

Nếu học category theory, thì anh trông đợi là sẽ được học những ví dụ hay làm những bài tập tương tự như vậy. Còn nếu chỉ có định nghĩa, thì học category theory để làm gì? 

 

Đến đây làm nhớ tới một câu mà Dieudonné nói với Grothendieck, đại loại "il ne faut pas généraliser pour le plaisir de généraliser". Cụm từ "abstract nonsense" chắc cũng xuất phát từ việc cho rằng category theory chỉ để trừu tượng hoá lên mọi thứ chứ chẳng dùng được làm gì. Nhưng ngày nay thì đã rất rõ ràng rằng điều đó không đúng (và lưu ý rằng "abstract nonsense" ngày nay được mọi người dùng với nghĩa tích cực chứ không phải tiêu cực).

 

Anh đang hiểu theo cách em đã cảnh báo ở trên, em nói rằng chữ theory trong category theory không có nghĩa là một theory như các ngành cụ thể, mà ở sơ khởi nó chỉ thuần tuý là một cách diễn đạt nhiều khái niệm trong toán học dưới một ngôn ngữ hình thức và cho gọn, cho đẹp hơn. Một khi người ta học đủ họ sẽ tự nhận ra sự tương đồng giữa các cách viết định nghĩa, lập luận trong các ngành, và cần thiết để có một cách trình bày gọn gẽ hơn, đó là cái lý thuyết phạm trù làm. Nhưng Không có việc chuyển dịch một định lý từ cái này sang cái kia, em có thể nói cụm từ abstract nonsense cá nhân em không dùng nó với nghĩa tiêu cực nhưng cũng không tích cực. Nếu ai cũng chỉ học category theory xong vẽ ra mấy cái biểu đồ thì như anh Nxb bảo thì ai cũng làm toán được hết. Bản chất vẫn là nội tại của ngành mình làm.

 

Nói thế không có nghĩa là có thể coi thường cái cách lý thuyết phạm trù làm người ta viết mọi thứ chuẩn chỉ hơn, như Brian Conrad nói before functoriality, people still live in caves. Lý thuyết phạm trù, ngoài việc giúp trình bày còn mang lại cái philosophies. Ví dụ điển hình là quan điển functor of points (hàm tử điểm) của Grothendieck hay gọi là relative point of view, hay gì cũng được, xuất phát từ bổ đề Yoneda. Bổ đề Yoneda nói rằng một vật trong một phạm trù được xác định nếu ta biết tất cả các cấu xạ đi vào vật đó (thế nên Serre mới viết ...comme Grothendieck nous l'a appris, les objets d'une catégorie ne jouent pas un grand rôle, ce sont les morphismes qui sont essentiels.). Hoặc một cái khác là tính phổ dụng (universal property) và một thứ quan trọng nữa lý thuyết phạm trù dạy cho ta, đó là xây dựng cái gì thì cũng phải có tính hàm tử (functoriality). Em sẽ để ra vài ví dụ:

  • Đầu tiên, và kinh điển nhất, là đối ngẫu của không gian vector $V$ trên $\mathbf{R}$ (bất cứ trường nào cũng được): đối ngẫu một lần $V^{\vee}$ thì đẳng cấu với $V$ (vì có cùng số chiều). Nhưng bất biến về số chiều thì quá thô, đẳng cấu này dựa vào việc chọn một cơ sở của $V$, có rất nhiều cơ sở, làm sao mà biết cái nào chuẩn nhất? Tuy nhiên đối ngẫu hai lần $V^{\vee \vee}$ thì tự nhiên, tồn tại một phép xây dựng $V \longmapsto V^{\vee \vee}$ tự nhiên theo nghĩa cứ có một đồng cấu không gian vector $V \longrightarrow W$ thì có một đồng cấu $V^{\vee \vee} \longrightarrow W^{\vee \vee}$. Trong trường hợp đối ngẫu một lần, phép hợp thành cũng cho ta $W^{\vee} \longrightarrow V^{\vee}$, nhưng do phụ thuộc vào cơ sở, nó không tương thích với phép xây dựng $V \longmapsto V^{\vee}$.
  • Cho $G$ là một nhóm, làm thế nào để tạo ra một nhóm giao hoán (commutative group, hoặc abelian group) từ $G$? Có một cách, lấy tâm của $$Z(G) = \left \{g \in G \mid gx = xg \forall x \in G \right \}$$ Tuy nhiên cách làm này có quá nhiều bất lợi, tâm của một nhóm có thể rất bé (ví dụ tâm của nhóm ma trận của là bội của ma trận đơn vị), và quan trọng hơn, nếu có một đồng cấu nhóm $G \longrightarrow H$, ta không có một đồng cấu nhóm giao hoán $Z(G) \longrightarrow Z(H)$. May mắn, ta có một cách khác, là xét abel-hoá $G^{ab}$ của $G$, tức là nhóm thương $G/[G,G]$ trong đó $[G,G]$ là nhóm con các giao hoán tử, i.e. sinh bởi các phần tử $aba^{-1}b^{-1}$. Xây dựng này thì có tính hàm tử nên nó tốt. Nó còn tốt hơn nữa do nó là đảo ngược quá trình ta đưa một nhóm abel thành một nhóm. Khi anh có một nhóm abel $G$, anh có thể xem nó như một nhóm (mà quên mất tính giao hoán), quá trình này gọi là quên (forgetful functor). Khi anh xem xét một đồng cấu $G \longrightarrow H$ với $H$ abel, $G$ bất kỳ, thực chất anh đã quên mất tính abel của $H$ (do đồng cấu của nhóm abel cũng chỉ là đồng cấu nhóm). Làm thế nào để không mất thông tin? Đó là với bất kỳ đồng cấu nào thế kia, nó đều tách thành hợp thành $G \longrightarrow G^{ab} = G/[G,G] \longrightarrow H$, tức là tách qua nhóm abel hoá của $G$, và thực chất ta đang làm với các nhóm abel. Rồi bấy giờ chúng ta hãy thử chứng minh $(G \times H)^{ab} \cong G^{ab} \times H^{ab}$. Đây là một bài tập đơn giản, nhưng không khai sáng lắm nếu ta viết ra cụ thể một đẳng cấu. Tính phổ dụng cho ta một chứng minh độc đáo hơn.
  • Nếu chưa thoả mãn với ví dụ này, hãy xét tiếp với tích tensor $V \otimes_{\mathbf{R}} W$ của hai không gian vector $V,W$ trên $\mathbf{R}$ chẳng hạn. Tích tensor trong đại số tuyến tính dù được xây dựng tường minh nhưng tính phổ dụng mới là cái độc đáo của nó. Nó nói rằng phép xây dựng tensor là cách ta "đơn" tuyến tính hoá một cái gì đó song tuyến tính. Rất nhiều chứng minh ví dụ như kiểu $V \otimes W \cong W \otimes V$ mà viết cụ thể ra thì rất mệt, tính phổ dụng cho tư duy gọn gàng hơn, và chứng minh khai sáng hơn. Tóm lại ta "không" nhớ về vật, mà ta nhớ về cấu xạ giữa vật. Ta cũng "không" nhớ về xây dựng, mà ta nhớ tính phổ dụng (tức là mục đích của nó là gì). Theo nghĩa này, lý thuyết phạm trù là một cách thay đổi tư duy: lý thuyết phạm trù là cách thể hiện mối tương quan giữa các đối tượng và là chọn ra một xây dựng tự nhiên nhất.
  • Đây là một "phản ví dụ" cho cái mà anh muốn hỏi: liệu có thể chứng minh một định lý ở lĩnh vực này và áp dụng category theory để translate sang lĩnh vực khác không? Câu trả lời là , nhưng không đơn giản như thế. Nguyên lý GAGA (Géométrie algébrique et géométrie analytique) của J. P. Serre nói rằng một một tương ứng $1-1$ giữa các đa tạp xạ ảnh đại số xạ ảnh phức (projective complex algebraic variety) và các không gian giải tích compact (compact analytic space). Nói khác đi, một bài toán về đa tạp đại số xạ ảnh trên trường $\mathbf{C}$ có thể nghiên cứu bằng công cụ giải tích phức và ngược lại. Nói tổng quát hơn, hình học đại số trên $\mathbf{C}$ dù làm bằng đại số hay giải tích thì cũng như nhau! Nhưng đây không phải là lý thuyết phạm trù, nếu anh đọc chứng minh của nguyên lý này, hoàn toàn không có gì là phạm trù mà chỉ là đại số giao hoán và giải tích phức. Phạm trù chỉ là cách viết $X$ (đa tạp đại số) biến thành $X^{an}$ (không gian giải tích) thì là một tương đương phạm trù (equivalence of categories).
  • Một cái tương đương khác như vậy gọi là tương ứng Dold-Kan, nó nói rằng phạm trù các nhóm abel đơn hình (simplicial abelian groups) và phạm trù các phức (complexes) là tương đương nhau. Tức là dù anh làm với mô hình đại số (phức) hay mô hình tổ hợp (simplicial objects) thì cũng như nhau. Nhưng đọc chứng minh thì hoàn toàn không có gì gọi là thuần tuý phạm trù, toàn là dãy phổ (spectral sequences) với đại số đồng điều (homological algebra). Ở đây còn có một cầu nối rất sâu sắc giữa hai kiểu mô hình này, đó là chúng cùng là các phạm trù mô hình (model categories) riêng, sinh bởi đối phân thớ (proper + cofibrantly generated model categories). Ở đây mới bắt đầu có thể nói phạm trù (hoặc infinity category mà anh Nxb làm) thực sự là một ngành nghiên cứu. 
  • Một ví dụ khác, cao cấp hơn nữa cho những ai quan tâm về việc phạm trù có thể giúp định hình tư duy như thế nào và tại sao lại nên có một phạm trù tốt. Tức là rất nhiều xây dựng trong các ngành là "cái bóng" (shadow) của một xây dựng nào đó "bên trên": đối đồng điều là cái bóng của motives hoặc lý thuyết về các derivator trong bản thảo 2000 trang của Grothendieck (the theory of derivators). Cái này không phải là em nói về lý thuyết derivator như một chuyên gia, mà như tư cách một người học, tức là có trải nghiệm cụ thể với lý thuyết. Lý thuyết về derivator có thể coi là cái "motive" thật sự (in some sense, of course!) của hình thức luận sáu hàm tử (six functors formalism). Mục đích ban đầu của Grothendieck khi đề xuất nó là do xây dựng trụ (cone) của phạm trù tam giác (triangulated categories) không có tính hàm tử (nhiều người vì lý do này tin rằng phạm trù tam giác vẫn chưa phải là xây dựng tốt, cũng như người ta tin đối đồng điều étale thì vẫn chưa phải là đối đồng điều "đúng" cho đa tạp đại số; xin nói thêm hơi dài chỗ này một chút: cái Grothendieck muốn cho lý thuyết motive là tìm được phạm trù motives trộn - aka category of mixed motives mà từ đó các đối đồng điều đều là cái bóng của các vật trong phạm trù này. Cái đúng theo philosophy của Grothendieck là phạm trù đúng, đúng tức là tốt, chứ không phải một đối tượng cụ thể tốt (một phạm trù tốt mà vật xấu thì còn tốt hơn một phạm trù xấu mà vật tốt - có thể nói vậy). Ví dụ một quá trình $$D^b(X_{\overline{k}},\mathbf{Q}_l) \longmapsto H^{\bullet}_{et}(X_{\overline{k}};\mathbf{Q}_l) \longmapsto \zeta_X(T)$$ là đi từ categorical-level invariant thu được set-level invariant và lấy toàn tử Frobenius thu được element-level invariant), tức là từ phạm trù, được bất biến đại số, và được hàm. Derivators là chỗ mà ta làm việc "rất hình thức" nhưng các xây dựng thì lại tổng quát (mà không hề nonsense) tới mức có thể đặc biệt hoá (chiếu xuống) các xây dựng cụ thể tới một cách bất ngờ. Ví dụ các định lý đổi cơ sở (Bech-Chevalley), dãy địa phương của một cặp bù trừ lược đồ đòng mở,... đều có thể viết thành ngôn ngữ phạm trù hết. Khi em học về các xây dựng của lý thuyết phạm trù mô hình (nhất là tính tam giác hoá của phạm trù đồng luân của một phạm trù định điểm) thì rất bối rối vì dù các chứng minh cũng không quá khó (lấy động lực từ tôpô cả, nhưng mà vẫn khó, phần nữa phong cách Pháp họ còn không viết nhiều ví dụ) nhưng vẫn rất loằng ngoằng. Lý thuyết derivator là một cách định hình hoá lại cái mindset của em. Cái cone construction thực chất ban đầu nằm trong phạm trù gốc, nhưng thực chất lý thuyết derivator nói nó nên nằm ở "một phạm trù cao hơn". Tìm kiếm các phạm trù ngày nay không còn là công việc xa lạ với những người làm hình học đại số.

Tặng anh và anh Nxb cái meme em làm:

chỉ mục.jpg

 

Cuối cùng là tự pr, hồi mới học tô-pô đại số em có viết cái note này để tổng hợp các ví dụ. Như anh có thể thấy, sau mỗi khái niệm là một loạt các ví dụ. :D Nên em nghĩ là nếu anh muốn học thì có hai cách: lao vào tô-pô đại số hoặc như anh Nxb bảo, kiếm cái gì đó ứng dụng vì giờ người ta cũng mang nó đi nhiều nơi mà. Ngay cả mấy ông triết chủng cũng còn học phạm trù cơ mà. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 22-02-2023 - 03:30

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#9
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Cảm ơn Nxb và bangbang1412! Thảo luận rất hay!

 

Anh xin lỗi vì trả lời trễ, định dành thời gian để đọc thêm tài liệu đã rồi mới trả lời (để khỏi chém bậy) nhưng cuối cùng cũng không được vì bận nhiều việc khác quá. Đọc bài của hai đứa hì anh cũng hiểu ra thêm được một số thứ (mặc dù có vài ví dụ Bằng đưa ra anh chưa hiểu vì thiếu background, nhưng những ví dụ này rất bổ ích với những bạn nào hiểu được). Tuy nhiên anh cũng muốn làm rõ thêm hai điều mà anh có cảm giác là cả hai đứa đều hiểu sai từ bài post của anh.

 

Thứ nhất là nếu học category theory thì mục đích của anh hoàn toàn khác với các em (làm nghiên cứu về category theory hoặc pure math nói chung). Anh học với mục đích là để ứng dụng vào những thứ anh làm (machine learning, computer vision). Và sau khi đọc bài của Riehl (như anh đã trích dẫn ở trên) thì mới đặt câu hỏi là liệu category theory có giúp mình học nhanh hơn những mảng Toán khác mà mình chưa học hay không, nghĩa là học kiểu top-down thay vì bottom-up. Tóm lại các em học category theory để làm Toán, còn anh học category để học Toán, hoặc để ứng dụng. Trước đó lúc tìm hiểu thì anh có biết là category theory đã được ứng dụng vào khá nhiều lĩnh vực khác nhau (bao gồm cả computer science và machine learning), nhưng có vẻ vẫn còn sơ khai.

 

Thứ hai là việc translate chứng minh hoặc kết quả từ mảng này qua mảng khác thông qua category theory, anh đâu có bảo là nó dễ? Thậm chí từ câu hỏi của anh ("có trường hợp nào như vậy không") thì đã có thể ngầm hiểu là anh đánh giá việc này không phải tầm thường. Anh Google nhanh thì thấy là việc này là có thể và cũng là một mảng nghiên cứu. Trích một đoạn tìm được trong bài báo này: https://www.scienced...168010215002989 (có trỏ thêm tới references khác)

 

category_theory.png


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#10
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Em không rõ nội dung không phải toán trong bài này như thế nào nhưng nội dung toán thì viết như ngáo đá. Thứ nhất, định lý Bouwer là một định lý rất cơ bản trong tô pô đại số và trường hợp 2 chiều thì có thể đọc được ngay sau khi học xong tô pô đại cương, bởi vì tô pô đại số chỉ cần nền tảng là tô pô đại cương và lý thuyết nhóm ( với thần đồng như Bằng thì em nhớ đọc từ lớp 12 hoặc năm nhất gì đó). Ý tưởng chứng minh không có tí gì lý thuyết phạm trù ( kể cả không hiểu chứng minh thì cũng có thể xác nhận việc này vì thời điểm Brouwer và những người khác chứng minh định lý này thì lý thuyết phạm trù chưa ra đời). Như vậy dù bài báo trên định chém gió gì về phạm trù, ví dụ họ lấy là ví dụ tồi.

 

Thứ hai, họ nói “Một phương pháp tương tự được sử dụng để chứng minh định lý Fermat”. Em thậm chí chưa thấy họ nói một phương pháp nào trong một đoạn văn ngắn tũn như vậy, cho một định lý khủng khiếp như vậy, chứ đừng nói đến phương pháp tương tự. Em không hiểu sao cần phải đọc toán học từ những bài báo sai lac kiểu này. Cách nhanh nhất là anh đọc sách phạm trù của Mac Lane, không phải đọc từ người nghĩ ra nó là tốt nhất ? Em chưa thấy có vấn đề gì trong việc này. 

 

Em chưa rõ mình hiểu sai điều gì, nhưng em thấy anh vẫn nói rằng phạm trù dùng để diễn dịch định lý từ mảng này sang mảng kia. Bằng với em cũng không có lợi ích gì trong việc lừa gạt anh. Cả em và Bằng đều làm Phd về những thứ liên quan đến phạm trù hàm tử nên cũng chả ai muốn hạ thấp cái thứ mình bỏ công sức vào cả. Tuy nhiên, việc mình chỉ tin vào những gì mắt thấy tai nghe cũng không có gì lạ nên anh tự đọc nghiêm túc để quyết định mình tin vào điều gì là cách duy nhất. Cái gần nhất mà anh tưởng là diễn dịch định lý từ mảng này sang mảng khác là tương đương giữa các phạm trù (equivalence of categories), nhưng phát biểu một tương đương giữa các phạm trù như thế là một định lý, không phải là thứ để dịch chuyển chứng minh hay định lý. Các phạm trù này phải cụ thể, trong một context rõ ràng nào đó ví dụ lý thuyết số, hay hình đại số, hay tô pô,vv… Một lợi ích của việc đó là tương đương giữa các phạm trù bảo toàn đẳng cấu, nên để kiểm tra hai vật trong phạm trù này có đồng nhất với nhau không, ta xem xét chúng có đồng nhất với nhau ở phạm trù bên kia không. Lý do sâu xa hơn là chẳng hạn ta có khái niệm đẳng cấu nhóm để đồng nhất các vật, nên sau khi định nghĩa phạm trù thì một cách tự nhiên là ta cần định nghĩa thế nào là đồng nhất giữa hai phạm trù. Định nghĩa đúng là khái niệm tương đương giữa hai phạm trù. Những tương đương này đôi khi không tầm thường (thử nghĩ về bài toán phân loại nhóm) nên chứng minh của chúng là điều rất thú vị. Chẳng hạn bài toán Hilbert thứ 21 hoặc chương trình Langlands hình học có thể phát biểu như là tìm cách chứng minh một tương đương giữa hai phạm trù nào đó.

 

Về việc học phạm trù có giúp học nhanh các mảng toán khác không thì như em nói, mình cần phạm trù giống như mình cần tập hợp vậy: mình định nghĩa nhóm là một tập hợp cùng với phép toán,vv… thì tất nhiên ta cần hiểu tập hợp là gì; còn như mình định nghĩa hàm tử điểm dùng để xác định một đa tạp như là một hàm tử nhất định từ phạm trù các đa tạp sang phạm trù tập hợp, thì tất nhiên mình phải hiểu thế nào là phạm trù hàm tử. Có nghĩa là ta bắt buộc phải học, không học thì không biết gì về hình học đại số/tô pô đại số chứ không còn là chuyện nhanh hay chậm nữa. Việc phân vân học theo kiểu gì nó có thể xảy ra từ thế kỷ 20, chứ bây giờ thì không còn những chuyện như thế nữa rồi. Anh an tâm là đọc bất cứ cuốn sách nào cũng sẽ là top-down, không thể bottom-up được vì ngay từ định nghĩa nó đã như thê. Ngay từ năm nhất những thứ gọi là top-down đó đã xuất hiện, ví dụ như chứng minh hợp thành của ánh xạ tuyến tính là ánh xạ tuyến tính, hợp thành của đồng cấu nhóm là đồng cấu nhóm, hay định nghĩa tích tensor thì sử dụng tính chất phổ dụng. Sau thời điểm này thì chắc sinh viên nào cũng dương như nhận ra bất cứ đối tượng toán học nào được dạy cũng tạo thành một phạm trù, mặc dù họ không biết định nghĩa chính xác của phạm trù là gì. Anh có thể kiểm tra điều này bằng cách đọc cuốn sách đại số tuyến tính của Nguyễn Hữu Việt Hưng. Em nghĩ khi có thời gian anh bắt đầu bằng ví dụ cụ thể mà anh hiểu nó thực sự thì tốt hơn là những bài báo báo không phải trong toán lại đi viết nội dung toán một cách mơ hồ. 

 

P/S: Có thể không phải tương đương giữa hai phạm trù mà cái anh bị nhầm lẫn với việc phạm trù dịch chuyển định lý là tương tự hoá trong toán học. Em nghĩ anh có thể nghĩ theo nghĩa rộng này chứ đừng có bám vào phạm trù làm gì. Cách nghĩ cơ bản này là mới thứ giúp người ta liên hệ các mảng khác nhau của toán học, ví dụ như Langlands hình học và chương trình Langlands gốc, hình học đại số và hình học giải tích, lý thuyết tập hợp và topos,vv…


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 04-03-2023 - 03:11


#11
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Cảm ơn Nxb nhiều đã cất công trả lời anh rất rõ ràng.

 

Em chưa rõ mình hiểu sai điều gì, nhưng em thấy anh vẫn nói rằng phạm trù dùng để diễn dịch định lý từ mảng này sang mảng kia. Bằng với em cũng không có lợi ích gì trong việc lừa gạt anh. Cả em và Bằng đều làm Phd về những thứ liên quan đến phạm trù hàm tử nên cũng chả ai muốn hạ thấp cái thứ mình bỏ công sức vào cả. Tuy nhiên, việc mình chỉ tin vào những gì mắt thấy tai nghe cũng không có gì lạ nên anh tự đọc nghiêm túc để quyết định mình tin vào điều gì là cách duy nhất. 

 

Đoạn này thì em nói quá lời rồi. Tất nhiên là anh hoàn toàn không nghi ngờ gì những điều tụi em nói, mà chỉ là muốn hỏi cho rõ thêm những thứ mà anh đọc được qua loa trên mạng và thấy lăn tăn. (Nói rõ thêm cho những bạn khác đang đọc, trong topic này Nesbit không phải tranh luận với Nxb và bangbang nhé, phải nói là đang nhờ chỉ giáo thêm mấy chỗ chưa hiểu; giữa một người không biết gì về phạm trù như Nesbit và những người làm nghiên cứu về phạm trù như Nxb và bangbang thì không có chuyện tranh luận về phạm trù nhé, đẳng cấp nó khác xa lắm :D )

 

Thực ra là nhân topic này mới tìm đọc nhanh và thảo luận thêm vậy thôi chứ anh cũng không định là học hay hiểu phạm trù theo kiểu đọc trên mạng như vậy (dù là từ bài của các em). Nếu học thì anh sẽ học textbook và làm bài tập đàng hoàng, đó có lẽ là cách tốt nhất.

 

Nhân tiện nhắc tới textbook, Nxb và bangbang đánh giá cuốn Category Theory in Context của Riehl thế nào? Năm ngoái anh đọc một loạt review trên mạng thì cuối cùng chốt được cuốn này. Anh đã lên kế hoạch học bổ túc dần nhiều thứ trước khi học phạm trù, chắc sớm nhất cũng phải hai năm nữa mới sờ tới được vì thời gian không có nhiều, nhưng nhân topic này hỏi luôn biết đâu có ích cho những bạn khác cần học sớm hơn. Có thể textbook kiểu này cũng chẳng cần thiết, vì như các em nói thì không cần nhắm tới phạm trù làm gì, cứ học tới topo đại số hoặc hình học đại số là xong.


  • Nxb yêu thích

Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#12
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Cảm ơn Nxb nhiều đã cất công trả lời anh rất rõ ràng.

 

 

Đoạn này thì em nói quá lời rồi. Tất nhiên là anh hoàn toàn không nghi ngờ gì những điều tụi em nói, mà chỉ là muốn hỏi cho rõ thêm những thứ mà anh đọc được qua loa trên mạng và thấy lăn tăn. (Nói rõ thêm cho những bạn khác đang đọc, trong topic này Nesbit không phải tranh luận với Nxb và bangbang nhé, phải nói là đang nhờ chỉ giáo thêm mấy chỗ chưa hiểu; giữa một người không biết gì về phạm trù như Nesbit và những người làm nghiên cứu về phạm trù như Nxb và bangbang thì không có chuyện tranh luận về phạm trù nhé, đẳng cấp nó khác xa lắm :D )

 

Thực ra là nhân topic này mới tìm đọc nhanh và thảo luận thêm vậy thôi chứ anh cũng không định là học hay hiểu phạm trù theo kiểu đọc trên mạng như vậy (dù là từ bài của các em). Nếu học thì anh sẽ học textbook và làm bài tập đàng hoàng, đó có lẽ là cách tốt nhất.

 

Nhân tiện nhắc tới textbook, Nxb và bangbang đánh giá cuốn Category Theory in Context của Riehl thế nào? Năm ngoái anh đọc một loạt review trên mạng thì cuối cùng chốt được cuốn này. Anh đã lên kế hoạch học bổ túc dần nhiều thứ trước khi học phạm trù, chắc sớm nhất cũng phải hai năm nữa mới sờ tới được vì thời gian không có nhiều, nhưng nhân topic này hỏi luôn biết đâu có ích cho những bạn khác cần học sớm hơn. Có thể textbook kiểu này cũng chẳng cần thiết, vì như các em nói thì không cần nhắm tới phạm trù làm gì, cứ học tới topo đại số hoặc hình học đại số là xong.

Có lần em tìm đọc monad thì tìm thấy cuốn sách của Riehl viết khá dễ hiểu. Nhưng em không rõ ứng dụng của phạm trù vào máy tính như thế nào. Rất có thể đây là một cuốn sách tốt vì dường như Riehl có quan tâm áp dụng phạm trù vào trong thực tế.

Gần đây cũng có một cuốn sách viết theo kiểu áp dụng toán https://golem.ph.ute...ction.html#more


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 04-03-2023 - 17:09






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đại số, phạm trù, phạm trù vô cực, tô pô, đồng luân

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh