Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ trực tâm $H$. CMR điểm liên hợp đẳng giác của điểm liên hợp đẳng cự của $H$ đối với tam giác $ABC$ nằm trên $OH$

[Hoang72]

Gọi $K$ là điểm liên hợp đẳng cự của $H$ và $I$ là điểm liên hợp đẳng giác của $K$ trong $\Delta ABC$.

Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Kẻ ba đường cao $AD,BE,CF$.

$AI,BI,CI$ cắt lại $(O)$ tại $D_1,E_1,F_1$.

Qua $A$, $B$, $C$ lần lượt kẻ đường thẳng song song với $BC,CA,AB$ cắt $(O)$ tại $A',B',C'$.

$AK$ cắt $BC$ tại $X$ thì do $BD = CX$ nên $AA'XD$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow A',D,D_1$ thẳng hàng.

Tương tự $B',E,E_1$ thẳng hàng và $C',F,F_1$ thẳng hàng.

Bằng phép vị tự dễ dàng suy ra $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$.

Áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix} A &E_1 &A' \\ B & D_1 & B' \end{vmatrix}$ ta có $G$, $I$, $A'B\cap AB'$ thẳng hàng.

$AH,BH$ cắt $(O)$ tại $A_1,B_1$ thì $A_1A'$ và $B_1B'$ là các đường kính của $(O)$.

Áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix} A &A' &B_1 \\ B & B'&A_1\end{vmatrix}$ ta suy ra $A'B\cap AB'$ nằm trên $OH$.

Vậy $I\in OH$. Ta có điều phải chứng minh.