Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ trực tâm $H$. CMR điểm liên hợp đẳng giác của điểm liên hợp đẳng cự của $H$ đối với tam giác $ABC$ nằm trên $OH$
#1
Đã gửi 14-02-2023 - 21:33
#2
Đã gửi 14-02-2023 - 23:18
Gọi $K$ là điểm liên hợp đẳng cự của $H$ và $I$ là điểm liên hợp đẳng giác của $K$ trong $\Delta ABC$.
Gọi $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$. Kẻ ba đường cao $AD,BE,CF$.
$AI,BI,CI$ cắt lại $(O)$ tại $D_1,E_1,F_1$.
Qua $A$, $B$, $C$ lần lượt kẻ đường thẳng song song với $BC,CA,AB$ cắt $(O)$ tại $A',B',C'$.
$AK$ cắt $BC$ tại $X$ thì do $BD = CX$ nên $AA'XD$ là hình chữ nhật
$\Rightarrow A',D,D_1$ thẳng hàng.
Tương tự $B',E,E_1$ thẳng hàng và $C',F,F_1$ thẳng hàng.
Bằng phép vị tự dễ dàng suy ra $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$.
Áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix} A &E_1 &A' \\ B & D_1 & B' \end{vmatrix}$ ta có $G$, $I$, $A'B\cap AB'$ thẳng hàng.
$AH,BH$ cắt $(O)$ tại $A_1,B_1$ thì $A_1A'$ và $B_1B'$ là các đường kính của $(O)$.
Áp dụng định lý Pascal cho bộ $\begin{vmatrix} A &A' &B_1 \\ B & B'&A_1\end{vmatrix}$ ta suy ra $A'B\cap AB'$ nằm trên $OH$.
Vậy $I\in OH$. Ta có điều phải chứng minh.
- Explorer, alansupamath và Moon Loves Math thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: liên hợp, đẳng giác, đẳng cự, tam giác, hình học, trực tâm, nội tiếp, euler, đường tròn
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.Bắt đầu bởi nonamebroy, 18-04-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.Bắt đầu bởi Phuockq, 07-04-2024 hình học |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh M, P, N, J cùng nằm trên một đường trònBắt đầu bởi dreamee3014, 26-02-2024 đường tròn, tứ giác nội tiếp và . |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh