Chủ đề này có 1 trả lời

[Sangnguyen3]

Cho tam giác ABC, P,Q là 2 điểm nằm trong tam giác ABC sao cho PQ//BC đồng thời BQ cắt CP tại R. Các đoạn thẳng AR và PQ cắt nhau tại S . (APQ) cắt CA,AB tại E,F . FP cắt QE tại T. Các đường thẳng qua S lần lượt song song với AB,AC thứ tự cắt FP,QE tại X,Y. Chứng minh (TXY) tiếp xúc với (APQ)

[DoNam07]

Ta sẽ giải bài toán bằng cách sử dụng phép đối xứng tâm $A$.

 

Đối với tam giác $\triangle ABC$, ta vẽ đường thẳng $AP$ và $AQ$. Khi đó, ta có $\angle AQP = \angle ABC$ và $\angle APQ = \angle ACB$, từ đó suy ra tứ giác $APEQ$ nội tiếp. Gọi $O_1$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $\triangle APQ$.

 

Ta thấy rằng $AR$ là đường trung tuyến của tam giác $\triangle BCP$ nên $AR\parallel PQ$. Khi đó, ta có $\angle ASQ = \angle ABC$ và $\angle APQ = \angle ACB$, do đó tứ giác $ASBC$ nội tiếp. Gọi $O_2$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $\triangle ASQ$.

 

Tiếp theo, ta thấy rằng $AS$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $PQ$, nên $O_1O_2$ là đường vuông góc với $AS$. Vì thế, đường thẳng $O_1O_2$ sẽ chạm đường tròn $(APQ)$ tại điểm $S$.

 

Sau đó, ta vẽ đường thẳng $ST$ và $SR$, cũng như các đường thẳng song song tới $AB$ và $AC$ qua các điểm $X$, $Y$. Từ đó, ta dễ dàng thấy được rằng $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $XY$, từ đó suy ra $O_2$ cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $\triangle TXY$.

 

Vì $O_1O_2$ là đường vuông góc với cả $PQ$ và $XY$, nên $O_1O_2$ là đường trung trực của cung $ST$ trên đường tròn $(TXY)$. Từ đó, ta có $(TXY)$ tiếp xúc với $(APQ)$ tại điểm $S$, như cần chứng minh.