Chủ đề này có 3 trả lời

[Toan0710]

Cho $G$ là nhóm cấp $p^km$, với $p$ là số nguyên tố  và $(p, m)=1$. Giả sử $H$ là nhóm con cấp $p^k$ và K là nhóm con cấp $p^d$, $0<k\leq d$  nhưng $K$ không là nhóm con của $H$. CMR:          

$HK$ không là nhóm con của G.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toan0710: 15-02-2023 - 12:10

[poset]

Cho $G$ là nhóm cấp $p^km$, với $p$ là số nguyên tố  và $(p, m)=1$. Giả sử $H$ là nhóm con cấp $p^k$ và K là nhóm con cấp $p^d$, $0<k\leq d$  nhưng $K$ không là nhóm con của $H$. CMR:          

$HK$ không là nhóm con của G.

Không biết có nhầm gì không chứ $G$ đâu chứa nhóm con cấp $p^d$ với $d>k$ nhỉ, vì $|K|=p^d|p^km=|G|\Rightarrow p^d|p^k\Rightarrow d\leq k$ (vì $(p,m)=1$). Chắc đề là $0<d\leq k$ (mà chắc cũng không cần vì tự suy ra được từ 2 cái màu xanh).
Ta có $H\cap K$ là nhóm con của $K$ mà $K$ không là nhóm con của $H$ nên $H\cap K\neq K$, nên $|H\cap K|=p^e,e<d$. Theo công thức này, $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}=\frac{p^{k+d}}{p^e}=p^{k+d-e}$, ta có $k+d-e>k$, theo suy luận ở trên thì $HK$ không thể là nhóm con của $G$ (vì $|HK|=p^{k+d-e}\nmid p^km=|G|$).

[Toan0710]

Không biết có nhầm gì không chứ $G$ đâu chứa nhóm con cấp $p^d$ với $d>k$ nhỉ, vì $|K|=p^d|p^km=|G|\Rightarrow p^d|p^k\Rightarrow d\leq k$ (vì $(p,m)=1$). Chắc đề là $0<d\leq k$ (mà chắc cũng không cần vì tự suy ra được từ 2 cái màu xanh).
Ta có $H\cap K$ là nhóm con của $K$ mà $K$ không là nhóm con của $H$ nên $H\cap K\neq K$, nên $|H\cap K|=p^e,e<d$. Theo công thức này, $|HK|=\frac{|H||K|}{|H\cap K|}=\frac{p^{k+d}}{p^e}=p^{k+d-e}$, ta có $k+d-e>k$, theo suy luận ở trên thì $HK$ không thể là nhóm con của $G$ (vì $|HK|=p^{k+d-e}\nmid p^km=|G|$).

bạn có cách nào để chứng minh cái công thức màu xanh ko á?

[Nxb]

bạn có cách nào để chứng minh cái công thức màu xanh ko á?

Tập $HK$ có thể phân tích thành hợp rời của những tập có dạng $xK$, với $x\in H.$ Như vậy $|HK|$ sẽ bằng với tập $|K|$ nhân với số lượng các tập $xK, x\in H.$ Nếu đặt $S=\{xK \mid x\in H\}$ thì có một tác động của $H$ lên tập $S$ cho bởi $(y,xK)\mapsto yxK.$ Ta thấy tác động này có một quỹ đạo duy nhất chứa $H$ nên số phần tử của tập $S$ bằng với số phần tử của quỹ đạo này. Số phần tử của quỹ đạo này bằng với chỉ số của nhóm dừng của $H$. Theo định nghĩa, nhóm dừng của $H$ là tập

$$\{x\in H \mid xK=K\}=|H\cap K|.$$

Do đó chỉ số của nhóm dừng trong $H$ là $\frac{|H|}{|H\cap K|}$ và như vậy $|HK|=\frac{|H|}{|H\cap K|}.|K|.$

Có thể chứng minh công thức này mà không cần dùng tác động nhóm, nhưng tác động nhóm cho mình một setting chung để đếm một số đối tượng kiểu này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 15-02-2023 - 19:54