Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn
$f(x+y)=f(x)+f(y)$ với mọi $x,y>N$ ($N$ là hằng số dương nào đó)
Hỏi từ đây có suy ra được $f(x)=ax$ với mọi $x>T$ hay không? (T là hằng số dương nào đó)
$f$ sẽ là hàm tuyến tính trên $\mathbb Q$, tuy nhiên không nhất thiết phải trên $\mathbb R$.
Có cách xây dựng một hàm $f$ như vậy, nếu chấp nhận sử dụng Tiên đề Lựa chọn (Axiom of Choice)
https://math.stackex...ply-f-alpha-x-a
Có.
Chứng minh: Xét số thực $x > N$ tùy ý.
Vậy $f(rx) = rf(x)$ với mọi $r \ge 1$ và $x > N$.
Nói riêng, chẳng hạn lấy $T = N+1$ và đặt $a = \frac{f(T)}{T}$. Thế thì với mọi $x > T$, ta có
$$f(x) = f\left(\frac{x}{T}\cdot T\right) = \frac{x}{T}f(T) = ax.$$
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
phương trình hàm khó quá mấy anh ạ ! có cách nào luyện được ko ạ cứ trên lớp thầy cô giảng ko hiểu
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x-f(y)) = f(f(y)) +x.f(y) + f(y) -1$Bắt đầu bởi noname0101, 21-02-2024 phương trình hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tại sao không phải mọi tập sinh có 3 phần tử là tập cơ sởBắt đầu bởi Lyua My, 21-01-2024 đại số |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(2x+3y)=2f(x)+3g(y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(3x+2y)=f(x)+2f(x+y)$Bắt đầu bởi duongnhi, 26-11-2023 phương trình hàm |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Cho $P_{2023}$ là tập các đa thức có bậc $\leq$2023.$W=\left \{ p(x)\in P_{2023}|p(x-1)=-1) \right \}$.Kđ nào sau đây đúng?Bắt đầu bởi Explorer, 25-11-2023 không gian vector, cơ sở và . |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh