Chủ đề này có 1 trả lời

[Saturina]

Tìm tất cả các giá trị của $a,b$ sao cho phương trình $x^{3}+ax^{2}+bx+3a=0$ có các nghiệm đều là số nguyên dương

[supermember]

Để dễ nhìn và tránh các dấu trừ dễ bị nhầm thì sửa đề 1 chút thành : $x^3 -ax^2 +bx- 3a =0$

Như vậy, các số $a; b$ nếu có đều sẽ là các số nguyên dương, ta đỡ phải làm việc với các số âm.

 

nói chung dễ quá vì bản chất của nó là giải phương trình nghiệm nguyên dạng cơ bản.

 

Giả sử phương trình đã cho có $3$ nghiệm nguyên dương $ x_1 ; \  x_2 ; \ x_3$ thì theo định lý Viet, ta có:

 

$ P(x)= (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) \equiv x^3 -ax^2 +bx-3a$

 

Dẫn đến: $ x_1 + x_2 + x_3 =  a  \implies  3( x_1 + x_2 + x_3) = 3a = x_1 x_2 x_3 \ (*)$ 

 

Không giảm tổng quát, ta giả sử $ 1 \leq x_1 \leq x_2 \leq x_3$

 

Dễ thấy là $ x_1 \leq 3$ vì nếu $ x_1 \geq 4$ thì :   $x_1 x_2 x_3 \geq 16x_3 > 9x_3 \geq  3( x_1 + x_2 + x_3)$

 

Do đó, ta sẽ xét $3$ trường hợp sau:

 

TH1: $x_1 =3$ thì  $(*)$ tương đương với: $3 + x_2+ x_3 = x_2 x_3 \Leftrightarrow (x_2 -1)(x_3 -1) = 4 \Leftrightarrow  x_2 = x_3 = 3 $ hoặc $ x_2 =2$ và $x_3 = 5$ . Loại trường hợp sau vì rõ ràng phải có $ x_1 \leq x_2$ 

 

Như vậy ta thu được $ x_1 = x_2 = x_3 = 3$ từ đây tính ra $ a= 9; b = 27$

 

TH2: $x_1 =2$ thì  $(*)$ tương đương với: $6 + 3x_2+ 3x_3 = 2 x_2 x_3 \Leftrightarrow (2x_2 -3)(2x_3 -3) = 21 \Leftrightarrow  x_2 = 2 ; x_3 = 12 $ hoặc $ x_2 =3 ; x_3 = 5$

 

 

Như vậy ta thu được $ x_1 = x_2 = 2; x_3 = 12$  hoặc $x_1 = 2; x_2 = 3 ; x_3 =5$ từ đây tính ra $ a= 16; b = 52$ hoặc $ a= 10; b = 31$

 

TH3: $x_1 =1$ thì  $(*)$ tương đương với: $3 + 3x_2+ 3x_3 = x_2 x_3 \Leftrightarrow (x_2 -3)(x_3 -3) = 12 \Leftrightarrow  x_2 = 4 ; x_3 = 15 $ hoặc $ x_2 =5 ; x_3 = 9$ hoặc $ x_2 =6 ; x_3 = 7$

 

 

Như vậy ta thu được $ x_1 = 1; x_2 = 4; x_3 = 15$  hoặc $x_1 = 1; x_2 = 5 ; x_3 =9$ hoặc $x_1 = 1; x_2 = 6 ; x_3 =7$

 

từ đây tính ra $ a= 20; b = 79$ hoặc $ a= 15; b = 59$ hoặc $ a= 14; b = 55$

 

Ta thu được các bộ nhiệm $ (a;b)$ như sau: $ (9; 27); \ (16;52); \ (10;31); \ (20;79); \ (15;59); \ (14;55)$

 

Vậy, kết luận các cặp số thỏa yêu cầu bài toán là: $(-9; 27); \ (-16;52); \ (-10;31); \ (-20;79); \ (-15;59); \ (-14;55)$ .

 

Bài Toán Theo Đó được giải quyết Hoàn Toàn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-03-2023 - 20:26