Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Tìm $f:\mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(x^2+f(y)-y)=f^2(x)$ với mọi $x,y\epsilon \mathbb{R}$

[Hoang72]

Đặt $\mathcal{I} = \{f(y) - y| y\in\mathbb R\}$.

Khi đó ta có: $f(x^2 + y) = f^2(x),\forall x\in\mathbb R, y\in \mathcal{I}$.

Suy ra $|f(x)| = |f(-x)|,\forall x\in\mathbb R$.

Xét 2 trường hợp:

$\bullet$ $\mathcal{I}$ bị chặn dưới bởi số $c$ nào đó: Thế thì $f(x)\geq x+c,\forall x\in\mathbb R$.

Giả sử $\mathcal{I}$ có ít nhất hai phần tử $i_1<i_2$

$\Rightarrow f(x^2 + i_1) = f(x^2+i_2)$

$\Rightarrow f(x) = f(x + |i_2-i_1|),\forall x\geq i_1$

$\Rightarrow f(x) = f(x + n|i_2-i_1|),\forall x\geq i_1,n\in\mathbb N^*$.

Tuy nhiên vì $f(x + n|i_2-i_1|) \geq x + n|i_2-i_1|$ nên cho $n\to+\infty$ ta có điều vô lí.

Dẫn tới $|\mathcal{I}|=1$. Thay lại ta có $f(x)=x,\forall x\in\mathbb R$.

$\bullet$ $\inf \mathcal{I} = -\infty$: Vì $f(x^2+y) = f^2(x)\geq 0,\forall x\in\mathbb R,y\in\mathcal {I}$ nên từ đây suy ra $f(x)\geq 0,\forall x\in\mathbb R$.

Do đó $f$ là hàm chẵn.

Thay $y$ bởi $-y$ vào giả thiết ta có $f(x^2 + f(y) + y) =f^2(x),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(x^2 + f(y) - y) = f(x^2 + f(y) + y),\forall x,y\in\mathbb R$

$\Rightarrow f(x) = f(x+2y),\forall x\geq f(y) - y$. $(*)$

Giả sử có $a<b$ mà $f(a) \neq f(b)$.

Ta lấy được $y_0,y_1\in\mathcal{I}$ mà $y_0 < y_1 < a < b$. 

Ta có $f(x^2 + y_0) = f(x^2 + y_1),\forall x\in\mathbb R\Rightarrow f(x) = f(x + y_1 - y_0),\forall x \geq y_0$

$\Rightarrow f(x) = f(x + n|y_1-y_0|),\forall x\geq y_0,n\in\mathbb N$

Lấy $n$ đủ lớn sao cho $n|y_1-y_0| + a > f\left(\frac{b-a}{2}\right) - \frac{b-a}{2}$.

Từ $(*)$, cho $x = n|y_1-y_0| + a, y = \frac{b-a}{2}$ ta có $f(a + n|y_1-y_0|) = f(b + n|y_1-y_0|)$

$\Rightarrow f(a) = f(b)$, mâu thuẫn. Như vậy $f$ là hằng.

Vậy...