Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho: $a^2 + ab +b^2|P(a)-P(b)$ với mọi $a,b\epsilon \mathbb{Z}$

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho: $a^2 + ab +b^2|P(a)-P(b)$ với mọi $a,b\epsilon \mathbb{Z}$
#2
Đã gửi 24-09-2023 - 09:06

Hai đa thức $G,H\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $G$ là đa thức đơn khởi và $G(n)$ là ước của $H(n)$ với mọi số nguyên $n$. Khi đó đa thức $G$ là ước của đa thức $H$.
Dự đoán nghiệm là $P(x)=Q(x^3)$ nên ta viết lại đa thức $P$ dưới dạng
\[P(x)=Q_0(x^3)+xQ_1(x^3)+x^2Q_2(x^3)\]
với $Q_0,Q_1,Q_2\in \mathbb{Z}[x]$. Cố định số nguyên $a$, ta có
Từ đây thấy rằng khi thực hiện phép chia $P(x)$ cho $x^2+xa+a^2$ thu được phần dư là
\[Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)-(xa+a^2)Q_2(a^3).\]
Mặt khác kết hợp giả thiết với Theorem ta có $x^2+xa+a^2\mid P(x)-P(a)$ nên phần dư của phép chia $P(x)$ cho $x^2+xa+a^2$ phải là $P(a)$, do vậy $Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)-(xa+a^2)Q_2(a^3)=P(a)$, tương đương
\[\Big(Q_1(a^3)-aQ_2(a^3)\Big)x-a^2Q_2(a^3)= 0\implies Q_1(a^3)-aQ_2(a^3)=a^2Q_2(a^3)=0.\]
Tới đây cho $a\to \infty$ suy ra $Q_1\equiv Q_2\equiv 0$.
Ghi chú. Hoàn toàn tương tự có thể giải quyết bài toán: Cho số nguyên dương $n$, tìm tất cả đa thức $P$ có hệ số nguyên thỏa mãn $a^n-b^n\mid P(a)-P(b)$ với mọi cặp số nguyên $a,b$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 27-09-2023 - 10:31
- perfectstrong và Explorer thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức, hệ số nguyên, chia hết, fermat
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh