Chủ đề này có 1 trả lời

[Explorer]

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho: $a^2 + ab +b^2|P(a)-P(b)$ với mọi $a,b\epsilon \mathbb{Z}$

[nhungvienkimcuong]

Bổ đề

Hai đa thức $G,H\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $G$ là đa thức đơn khởi và $G(n)$ là ước của $H(n)$ với mọi số nguyên $n$. Khi đó đa thức $G$ là ước của đa thức $H$.

Thực hiện phép chia đa thức ta có 

\[H(x)=Q(x)G(x)+R(x)\]

với $Q,R\in \mathbb{Z}[x]$ và $\deg(R)<\deg(G)$. Kết hợp với giả thiết suy ra $G(n)\mid R(n)$ với mọi số nguyên $n$. Vì $\deg(R)<\deg(G)$ nên tồn tại số nguyên $N$ đủ lớn sao cho $R(N)<G(N)$, do vậy $R(N)=0$ với mọi $N$ đủ lớn, điều này dẫn đến $R\equiv 0$.

 

Dự đoán nghiệm là $P(x)=Q(x^3)$ nên ta viết lại đa thức $P$ dưới dạng

\[P(x)=Q_0(x^3)+xQ_1(x^3)+x^2Q_2(x^3)\]

với $Q_0,Q_1,Q_2\in \mathbb{Z}[x]$. Cố định số nguyên $a$, ta có

\begin{align*}P(x)&=Q_0(x^3)+xQ_1(x^3)+x^2Q_2(x^3)\\&=\underbrace{\sum_{i=0}^2x^i\big(Q_i(x^3)-Q_i(a^3)\big)}_{\vdots\  x^3-a^3}+Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)+x^2Q_2(a^3)\end{align*}

Từ đây thấy rằng khi thực hiện phép chia $P(x)$ cho $x^2+xa+a^2$ thu được phần dư là

\[Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)-(xa+a^2)Q_2(a^3).\]

Mặt khác kết hợp giả thiết với Theorem ta có $x^2+xa+a^2\mid P(x)-P(a)$ nên phần dư của phép chia $P(x)$ cho $x^2+xa+a^2$ phải là $P(a)$, do vậy $Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)-(xa+a^2)Q_2(a^3)=P(a)$, tương đương

\[\Big(Q_1(a^3)-aQ_2(a^3)\Big)x-a^2Q_2(a^3)= 0\implies Q_1(a^3)-aQ_2(a^3)=a^2Q_2(a^3)=0.\]

Tới đây cho $a\to \infty$ suy ra $Q_1\equiv Q_2\equiv 0$.

 

 

Ghi chú. Hoàn toàn tương tự có thể giải quyết bài toán: Cho số nguyên dương $n$, tìm tất cả đa thức $P$ có hệ số nguyên thỏa mãn $a^n-b^n\mid P(a)-P(b)$ với mọi cặp số nguyên $a,b$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 27-09-2023 - 10:31