Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho: $a^2 + ab +b^2|P(a)-P(b)$ với mọi $a,b\epsilon \mathbb{Z}$

- - - - - đa thức hệ số nguyên chia hết fermat

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Explorer

Explorer

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 155 Bài viết

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho: $a^2 + ab +b^2|P(a)-P(b)$ với mọi $a,b\epsilon \mathbb{Z}$



#2
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Bổ đề

Hai đa thức $G,H\in \mathbb{Z}[x]$ thỏa mãn $G$ là đa thức đơn khởi và $G(n)$ là ước của $H(n)$ với mọi số nguyên $n$. Khi đó đa thức $G$ là ước của đa thức $H$.

 

Dự đoán nghiệm là $P(x)=Q(x^3)$ nên ta viết lại đa thức $P$ dưới dạng

\[P(x)=Q_0(x^3)+xQ_1(x^3)+x^2Q_2(x^3)\]

với $Q_0,Q_1,Q_2\in \mathbb{Z}[x]$. Cố định số nguyên $a$, ta có

\begin{align*}P(x)&=Q_0(x^3)+xQ_1(x^3)+x^2Q_2(x^3)\\&=\underbrace{\sum_{i=0}^2x^i\big(Q_i(x^3)-Q_i(a^3)\big)}_{\vdots\  x^3-a^3}+Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)+x^2Q_2(a^3)\end{align*}

Từ đây thấy rằng khi thực hiện phép chia $P(x)$ cho $x^2+xa+a^2$ thu được phần dư là

\[Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)-(xa+a^2)Q_2(a^3).\]

Mặt khác kết hợp giả thiết với Theorem ta có $x^2+xa+a^2\mid P(x)-P(a)$ nên phần dư của phép chia $P(x)$ cho $x^2+xa+a^2$ phải là $P(a)$, do vậy $Q_0(a^3)+xQ_1(a^3)-(xa+a^2)Q_2(a^3)=P(a)$, tương đương

\[\Big(Q_1(a^3)-aQ_2(a^3)\Big)x-a^2Q_2(a^3)= 0\implies Q_1(a^3)-aQ_2(a^3)=a^2Q_2(a^3)=0.\]

Tới đây cho $a\to \infty$ suy ra $Q_1\equiv Q_2\equiv 0$.

 

 

Ghi chú. Hoàn toàn tương tự có thể giải quyết bài toán: Cho số nguyên dương $n$, tìm tất cả đa thức $P$ có hệ số nguyên thỏa mãn $a^n-b^n\mid P(a)-P(b)$ với mọi cặp số nguyên $a,b$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 27-09-2023 - 10:31

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức, hệ số nguyên, chia hết, fermat

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh